ÁREAS Y VOLÚMENES U. D. 9 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

EJERCICIOS DE ÁREAS U. D. 9.6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicios_1 y 2 El área total de un tetraedro es 4.√3 cm2. Hallar la arista. Como el área total es: At = 4. Área del triángulo equilátero. At = 4.(a.a√3 / 2)/2 = 2.a2.√3 Despejando: a2 = 4.√3 / 4√3 = 1  a =1 cm La diagonal de un cubo es 8.√3 cm. Hallar la arista y el área lateral. Como la diagonal del cubo es: D = √(a2 + a2 + a2) = √3.a2 = a.√3 8.√3 = a.√3  a = 8 At = 4.a2 = 4.82 = 4.64 = 256 cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicios_3 y 4 El área total de un octaedro es 8.√3 cm2. Hallar la arista. Como el área total es: At = 8. Área del triángulo equilatero. At = 8.a.(a√3 / 2)/2 = 8.a2.√3 / 4 = 2.a2.√3 8.√3 = 2.a2.√3 Despejando: a2 = 8.√3 / 2√3 = 4  a =2 cm El lado de la base de un prisma regular (recto) de base cuadrada mide 3 cm, y la altura del prisma mide 5 cm. Hallar el área lateral y total. El área de la base será: Ab = 32 = 9 cm2 El área lateral del prisma será: Al = P.h = 4.a.h = 4.3.5 = 60 cm2 El área total será: At = 2.Ab + Al = 2.9 + 60 = 18 + 60 = 78 cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_5 El área total de un prisma regular (recto) de base exagonal es de 48 cm2 y la altura es doble que el lado de la base. Hallar la altura. El lado de la base es a y la altura del prisma 2a. El área de la base será la del exágono: Ab = 6.(a.a√3 / 2)/2 = 3.a2.√3 / 2 El área lateral del prisma será: Al = P.h = 6.a.2.a = 12.a2 El área total será: At = 2.Ab + Al = 2.(3.a2.√3 / 2) + 12.a2 = (3 √3 + 12).a2 Operando: 48 = 17,20. a2  a2 = 2,89 cm2 Luego: a = 1,6 cm  Como h = 2·a  h = 3,2 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_6 La altura de un cilindro mide 5 cm y el área de las bases vale igual que el área lateral. Hallar el radio de la base. El área de las bases será: Ab = 2.(π.r2) El área lateral del prisma será: Al = P.h = 2.π.r.5 = 10. π .r Según el enunciado: Al = 2.Ab 10. π .r = 2.(π.r2) Operando: 5.r = r2  5 = r  r = 5 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_7 La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base mide 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = P. apo / 2 La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base. Apo = √ [(l/2)2 + h2)] = √ (32 + 42) = 5 cm Luego: Al = P. apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_8 La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm menor que la arista lateral. El lado de la base mide 20 cm. Hallar el área lateral. Resolución El área lateral es: Al = P. apo / 2 La diagonal de la base es: d = √ (202 + 202) = √ 800 = 20√2 cm La arista lateral es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad de la diagonal de la base. al = √ [(d/2)2 + h2)]  x = √ (20√2 / 2)2 + (x – 4)2 Elevando todo al cuadrado para que desaparezca la raíz: x2 = 200 + x2 – 8.x + 16  8.x = 216  x = 27 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

… Ejercicio_8 La arista lateral mide 27 cm  Altura h = al – 4 = 23 cm Calculamos la apotema de la pirámide, que es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base. apo = √ (102 + 232 ) = √ (100+529) = =√ 629 = 25 cm El área lateral será: Al = P. apo / 2 = 4.20.25 / 2 = 1000 cm2 a h d/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_9 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_10 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2 72 = (h - 5)2 + h2 Operando: 49 = h2 – 10.h + 25 + h2  2.h2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área lateral es: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Ejercicio_11 En un cilindro la altura es igual que el diámetro de la base y el área lateral del cilindro vale π cm2 Hallar el radio de la base y la altura del cilindro. El área lateral de un cilindro es: Al = 2.π.r.h Y como h= 2.r π = 2.π.r.2.r π = 4.π.r2 Despejando … r2 = 1 /4 Luego r = ½ cm La solución negativa de r no vale. h= 2.r h = 1 cm h r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.