Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11.1 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES LINEALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

FUNCIONES LINEALES Sea la ecuación y = x , y = 2.x , y = 3.x , y = x / 2 , etc... Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x donde m es un número real y se llama pendiente. Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = m.x reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, por el punto O(0,0). y=f(x) f (b) f (a) 0 a b x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FUNCIONES LINEALES y=f(x) Las funciones lineales se llaman también funciones de primer grado porque su polinomio característico es de primer grado: f (x) = Polinomio de primer grado. Si dos magnitudes, x e y estaban en proporcionalidad directa se cumplía que: y1 / x1 = y2 / x2 = … = yn / xn = r Siendo r la constante de proporcionalidad. Se tenía que y = r·x Pues bien, si dos magnitudes están en proporcionalidad directa, los valores de una están en función de los valores que tome la otra. r = m y = r·x  y = m·x  f(x) = m·x f (b) f (a) α 0 a b x El ángulo α es la inclinación de la recta. La pendiente es: m = tg α m = [f(b)-f(a)]/(b-a) = f(a) / a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FUNCIONES AFINES FUNCIONES AFINES Sean las ecuaciones: y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 4 Todas tienen la forma: y = m.x + n donde m, la pendiente, es la misma. Representadas gráficamente vemos que nos dan rectas PARALELAS. Se llaman funciones afines porque tienen entre sí una afinidad, un, parecido: Todas ellas tienen la misma pendiente respecto a la función lineal, a la recta que pasa por el origen O(0,0). m = tg α = f(a) / a Siendo α el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, con el OX. y=f(x) α f (a) α 0 a x α @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FUNCIONES AFINES La diferencia entre ellas es el valor de n, llamada ordenada en el origen, por ser el valor que toma y cuando x=0 f (0) = n Todas las funciones que se pueden expresar de la forma: f (x) = m.x + n Reciben el nombre de FUNCIONES AFINES. Ejemplo: Función lineal: f(x) = (3/4)·x Funciones afines: f(x) = (3/4)·x + 5 Donde n = 5 y Pc(0, 5) f(x) = (3/4)·x – 2 Donde n = – 2 y Pc(0 ,– 2) y=f(x) f (a) α α α 0 a x m = tg α = f(a) / a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PENDIENTE PENDIENTE Sabemos que la pendiente de una recta es: m= tag α Siendo α el ángulo que forma con el eje de abscisas. Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta: tag α = (y2 - y1)/(x2 - x1) O sea: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) y=f(x) Q(x2,y2) y2 y2,- y1 P(x1,y1) y1 α x2,- x1 0 x1 x2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P1=(4, 3), P2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n 3=m.4 +n -7=m.5+n Por Reducción: -7-3 = 5m+n – 4m –n - 10 = m ,, m= -10  n = 3-4m = 3+40=43 Luego: f(x) = -10.x + 43 Tabla de valores x y 4 3 5 -7 Expresión f (x) = -10.x + 43 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PASO DE GRÁFICO A EXPRESIÓN El mismo ejemplo anterior: Una función lineal viene representada en un gráfico, en el cual detectamos claramente dos puntos del mismo: P1=(4, 3), P2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n Calculamos la pendiente: m=(y2 – y1 / (x2 – x1)=(– 7 – 3) / (5 – 4)=– 10 Por la expresión Punto-pendiente: y – y1 = m. (x – x1) y – 3 = – 10.(x – 4) y= – 10.x + 40 +3 Luego: f(x) = -10.x + 43 Gráfico y (4,3) x (5,-7) Expresión f (x) = -10.x + 43 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Nos dan tres puntos por los cuales pasa una función: P1=(4, 3), P2=(6, 5) , P3=(8, 5) ¿Es una función lineal?. Obtener su expresión. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n Calculamos la pendiente entre P1 y P2 : m1=(5 – 3) / (6 – 4) = 2 / 2 = 1 Calculamos la pendiente entre P2 y P3 : m2=(5 – 5) / (8 – 6) = 0 / 2 = 0 Las pendientes no son iguales. Los tres puntos no están alineados, en la misma línea. Por tanto la función que pase por los tres: a) No es una función lineal. b) Es una función troceada que se compone de dos funciones lineales. c) Es una función cuadrática que pasa por dichos puntos. d) Son tres puntos de una función no definida. Tabla de valores x y 4 3 6 5 8 5 Expresión No es lineal @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN El mismo ejemplo anterior: Nos dan tres puntos por los cuales pasa una función: P1=(4, 3), P2=(6, 5) , P3=(8, 5) ¿Es una función lineal?. Obtener su expresión. Resolución gráfica Para que tres o más puntos pertenezcan a una misma función lineal deben estar gráficamente alineados. Si sólo conocemos tres puntos y no están alineados, la mejor suposición, es considerar que la función es cuadrática. m=2 m=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CASUÍSTICA CASUÍSTICA Todas las funciones que se pueden expresar como y = mx + n son líneas rectas. Particularidades: 1.- Si m= 0 y = n  Función constante. Recta paralela al eje de abscisas. 2.- Si n=0 y m = 1 y = x  Bisectriz del primer cuadrante. 3.- Si n=0 y m = -1 y = - x  Bisectriz del segundo cuadrante. 4.- Si es de la forma x = k Recta paralela al eje de ordenadas. x = k NO es una función. y=f(x) y = 5 y = - x y = x 0 x x = 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.