APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 8 * 2º BCS Matemáticas 2º Bach. CCSS 1 1

U.D. 8.2 * 2º BCS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Matemáticas 2º Bach. CCSS 2 2

CONCAVIDAD CONCAVIDAD Una función es cóncava en un determinado punto si la tangente en él está por debajo de la gráfica de la función en ese punto. También decimos que es cóncava cuando, en un intervalo de valores de x, presenta la forma de un “valle”. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Una función es cóncava en un punto si su segunda derivada (derivada de la derivada) es POSITIVA. Sea y = x2 – 1  y´= 2.x  y´´ = 2 Sea cual sea el punto tomado: y´´ = 2 > 0  Cóncava. CÓNCAVA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS Matemáticas 2º Bach. CCSS 3

CONVEXIDAD CONVEXIDAD.- Una función es convexa en un determinado punto si la tangente en él está por encima de la gráfica de la función en ese punto. También decimos que es convexa cuando , en un intervalo de valores de x, presenta la forma de una “montaña”. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Una función es convexa en un punto si su segunda derivada (derivada de la derivada) es NEGATIVA. Sea y = – x2 + 1  y´= – 2.x  y´´ = – 2 Sea cual sea el punto tomado: y´´ = – 2 < 0  Convexa. CONVEXA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS Matemáticas 2º Bach. CCSS 4 4

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sea la curva y = f (x). Sea xo un punto cualquiera de la curva. Sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente a la curva por dicho punto. DEFINICIONES Si en las cercanías de xo tenemos f(x) > t(x) la curva es CONVEXA en xo. Si en las cercanías de xo tenemos f(x) < t(x) la curva es CÓNCAVA en xo. Si a la izquierda de xo tenemos f(x) < t(x) y a la derecha de xo tenemos f(x) > t(x) o viceversa, entonces x=xo es un PUNTO DE INFLEXIÓN. Matemáticas 2º Bach. CCSS

PUNTOS DE INFLEXIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN.- Llamamos puntos de inflexión aquellos en que cambia la curvatura de una función de cóncava a convexa o viceversa. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Un punto x=c es punto de inflexión si se cumple: f´´(c) = 0 f´´´(c) <> 0 Siendo f´´´ la tercera derivada. Sea y = x3 – 3·x  y´= 3·x2 – 3  y´´ = 6·x  y´´ = 0  x = 0 y´´´= 6  y´´´(0) = 6 <> 0 Se cumplen condiciones, luego la función presenta un PI en el O(0,0) Y Cóncava x PI O Convexa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS Matemáticas 2º Bach. CCSS

PUNTOS DE INFLEXIÓN APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Un punto x=c es punto de inflexión si se cumple: f´´(c) = 0 f´´´(c) <> 0 Siendo f´´´ la tercera derivada. Sea y = – x3 + 3·x – 2  y´= – 3·x2 + 3  y´´ = – 6·x  y´´ = 0  x = 0 y´´´= – 6  y´´´(0) = – 6 <> 0 Se cumplen condiciones, luego la función presenta un PI en el C(0,– 2) En x = – 2, a la izquierda del PI: y´´(– 2) = – 6·(– 2) = 12 >0  CONCAVA En x = 2, a la derecha del PI: y´´(2) = – 6·(2) = – 12 < 0  CONVEXA y x O Cóncava PI Convexa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS Matemáticas 2º Bach. CCSS 7 7

Matemáticas 2º Bach. CCSS SEGUNDA DERIVADA Si f(x) tiene segunda derivada en xo, se cumple que: Si f(x) es cóncava en xo  f ‘ (x) es creciente en xo  f ’’ (xo) ≥ 0 Si f(x) es convexa en xo  f ‘ (x) es decreciente en xo  f ’’ (xo) ≤ 0 Si f(x) tiene un punto de inflexión en xo  f ’’ (xo) = 0 Conclusiones Si f ‘’(xo) > 0  f (x) es cóncava en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) es convexa en xo. Si f ‘’(xo) = 0 y f ‘’’ (xo) <>0  f (x) tiene un P.I. en xo. Matemáticas 2º Bach. CCSS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD y = f (x) y = t (x) f (x) > t (x)  CÓNCAVA x=xo y = t (x) x=xo f (x) < t (x)  CONVEXA y = f (x) Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS Puntos de INFLEXIÓN y = f (x) y = t (x) Cóncava x=xo Convexa Convexa - 3 -2 -1 0 1 2 PUNTO DE INFLEXIÓN Cóncava Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS SEGUNDA DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS Como la derivada de una función f es otra función f’, podemos hallar la TVI de la nueva función. Esta función se designa por f ’’(x) o D f ‘ (x) f ‘ (x + h) – f ‘ (x) f “(x) = lím ---------------------- h  0 h La derivada de la función derivada es otra función y por tanto una expresión algebraica. Se emplea para estudiar la curvatura de una función, así como los puntos de inflexión. Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLOS Sea f(x) = ln x Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 1 / x , que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = – 1 / x2 La derivada tercera será: f “’ (x) = 2.x / x4 = 2 / x3 La derivada cuarta será: f IV (x) = – 6 .x2 / x6 = – 6 / x4 Sea f(x) = sen 5x Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 5.cos 5x, que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = – 25.sen 5x La derivada tercera será: f “’ (x) = – 125.cos 5x La derivada cuarta será: f IV (x) = 625.sen 5x Matemáticas 2º Bach. CCSS

IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en a, entonces: Si f ‘’(a) > 0  f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en x=a. Si f ‘’(a) < 0  f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en x=a. EJEMPLO_1 Sea y = (1 / 3) x3 – (3 / 2) x2 + 2 x – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 – 3x + 2  y ‘ = 0  (x – 1).(x – 2) = 0 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 En x=1  y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0  Máximo relativo en x=1 En x=2  y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0  Mínimo relativo en x=1 Igualamos a cero la segunda derivada: y ‘’ = 0  2.x – 3 = 0  x = 1,5  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLO_2 Sea y = (1 / 3) x3 + x2 – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 + 2x  y ‘ = 0  x .(x + 2) = 0 x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2 En x = 0  y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0  Mínimo relativo en x=0 En x = – 2  y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0  Máximo relativo en x= – 2 y ‘’ = 0  2.x + 2 = 0  x = – 1 es el posible P. de Inflexión.  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLO_3 Sea y = – (x – 2)3 – 1 y= – x3 + 6.x2 – 12.x + 7 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = – 3.x2 + 12.x – 12 y ‘ = 0  x2 – 4.x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0  x = 2  Posible max/min Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = – 6.x + 12 En x = 2  y ‘’ (2) = 0 Aunque la primera derivada sea 0 el punto no es ni un Max ni un Min. relativo. Para que en un punto haya un máx. o un mín. es necesario que y ’ = 0, pero no suficiente. Veamos si es un P.I. y’’(2) = 0  y’’’ = – 6 y’’’ (2) = – 6 <> 0  P(2, -1) es un PI Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Hallar los puntos singulares y los puntos de inflexión. Eliminamos el valor absoluto: x2 – 1 si x =< – 1 y = – x2 + 1 si – 1 < x < 1 x2 – 1 si x >=1 Calculamos la derivada primera: 2.x si x =< – 1 y ‘ = – 2.x si – 1 < x < 1 2.x si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos singulares: 2.x = 0  x = 0 si x =< – 1  NO y ‘ = – 2.x = 0  x = 0 si – 1 < x < 1  SI 2.x = 0  x = 0 si x >=1  NO En x = 0  y” = – 2 < 0  Máximo relativo. x = 0  y (0) = |0 – 1| = 1  Máx(0 , 1) Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS … EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Calculamos la derivada segunda: 2 si x =< – 1 y “ = – 2 si – 1 < x < 1 2 si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos de inflexión: y ‘’ <> 0 en todos los casos. No existen puntos de inflexión. Sin embargo vemos que en x = – 1 la curva cambia de cóncava a convexa, y en x 0 1 cambia de convexa a cóncava. Para que en un punto haya un punto de inflexión es necesario que y ” = 0, pero no suficiente, pues y’’’ debe ser <> 0. En x = – 1 y x = 1 hay puntos angulosos, donde la derivada no existe al ser distintas sus derivadas laterales. Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión Matemáticas 2º Bach. CCSS