Bioestadística Distribuciones de probabilidad y distribuciones muestrales para variables cualitativas: la distribución binomial

Distribución binomial Cuando tenemos interés en un evento dicotómico denominamos arbitrariamente uno de los resultados como éxito (E) y al otro como fracaso (F). Además, identificamos con una p la probabilidad de que ocurra un éxito en un ensayo, y por (1 - p) = q la probabilidad de que ocurra un fracaso.

Distribución binomial Cuando tenemos interés en un evento dicotómico denominamos arbitrariamente uno de los resultados como éxito (E) y al otro como fracaso (F). Además, identificamos con una p la probabilidad de que ocurra un éxito en un ensayo, y por (1 - p) = q la probabilidad de que ocurra un fracaso.

Ejemplos. Observar “aguila” al lanzar una moneda: p = 0.5, q = 0.5 Observar el “1” al lanzar un dado: p = 0.17, q = 0.83 Que el producto del siguiente parto en el HCG sea una niña: p = 0.49, q = 0.51 Seleccionar un diabético en la población general: p = 0.08, q = 0.92

Muestras de universos binomiales Cada selección es independiente de las anteriores. La probilidad de “éxito” se mantiene constante (la muestra se extrae de una población infinita o se extrae de una población finita con reemplazo)

Muestras de universos binomiales Cada selección es independiente de las anteriores. La probilidad de “éxito” se mantiene constante (la muestra se extrae de una población infinita o se extrae de una población finita con reemplazo)

Águila al lanzar una moneda: p = 0.5 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.5•0.5 0.25 EEE 0.5•0.5•0.5 0.125 2 EF EEF 3 FE EFE 4 FF EFF 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF

Águila al lanzar una moneda: p = 0.5 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.54 0.0625 9 FEEE 0.53•0.5 2 EEEF 10 FEEF 0.52•0.52 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.5•0.53 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = ?

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = ?

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282 P(2 éxitos y 1 fracaso en tres lanzamientos) = ?

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282 P(2 éxitos y 1 fracaso en tres lanzamientos) = 0.072

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = ?

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119 P(1 éxito y 3 fracasos en cuatro lanzamientos) = ?

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119 P(1 éxito y 3 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.389

Distribuciones muestrales de universos binomiales Éxitos n = 2 n = 3 n = 4 p = 0.17 p = 0.50 0.689 0.250 0.572 0.125 0.475 0.063 1 0.282 0.500 0.351 0.375 0.389 2 0.029 0.072 0.119 3 0.005 0.016 4 0.001

Distribuciones muestrales binomiales Podemos expresar la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayos mediante la expresión donde x es la variable aleatoria "número de éxitos" 𝑷 𝑿=𝒙|𝒏,𝒑 = 𝒏! 𝒙! 𝒏−𝒙 ! 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏−𝒙 = 𝒏 𝒙 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏−𝒙

Cálculo de probabilidad: ejemplo. Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos y 2 fracasos en 4 selecciones, cuando P = 0.17

Cálculo de probabilidad: ejemplo. Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos y 2 fracasos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 1.- Utilizaremos la distribución binomial, con fórmula 𝑃 𝑋=𝑥|𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 Donde el número de selecciones es n = 4, y el número de éxitos es x = 2 1.1.- Recordemos que la expresión “!”, o “factorial”, expresa que el número deberá ser multiplicado progresivamente desde n hasta 1. Así, 4! = 4*3*2*1 = 24. 1.2.- Por regla, 0! = 1.

Cálculo de probabilidad: ejemplo. 2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! 0.17 2 0.83 4−2

Cálculo de probabilidad: ejemplo. 2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! 0.17 2 0.83 4−2 4∗3∗2∗1 2∗1 2∗1 0.0289∗0.6889= 24 2 2 0.0289∗0.6889

Cálculo de probabilidad: ejemplo. 2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! 0.17 2 0.83 4−2 4∗3∗2∗1 2∗1 2∗1 0.0289∗0.6889= 24 2 2 0.0199 𝟔∗𝟎.𝟎𝟏𝟗𝟗=𝟎.𝟏𝟏𝟗

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito # n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119

Distribuciones muestrales binomiales Podemos expresar la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayos mediante la expresión donde x es la variable aleatoria "número de éxitos" Para el cálculo de p también podemos utilizar tablas de distribución binomial. Estas tablas generalmente se pueden encontrar en los anexos de los libros de Estadística. 𝑃 𝑋=𝑥|𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥

Distribución binomial La distribución binomial es realmente una familia de distribuciones, puesto que para cada valor diferente de n y p, que se denominan parámetros de la distribución binomial, se puede definir una distribución diferente. Sin tener en cuenta el valor de n, la distribución es simétrica cuando p = 0.5

Distribución binomial La distribución binomial es realmente una familia de distribuciones, puesto que para cada valor diferente de n y p, que se denominan parámetros de la distribución binomial, se puede definir una distribución diferente. Sin tener en cuenta el valor de n, la distribución es simétrica cuando p = 0.5

Cálculo de probabilidad: ejemplo. Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 1.- Las tablas de distribución binomial las podremos encontrar los anexos del libro: hay una para cada tamaño de muestra (n) y cada valor de probabilidad (p). 1.1.- Primero buscamos la tablas para el tamaño de muestra o número de ensayos (n). 1.2.- Luego buscamos la columna correspondiente a la probabilidad poblacional de referencia (p) 1.3.- Así pues, para el ejemplo, buscamos la tabla para n = 4, y p = 0.17

Cálculo de probabilidad: ejemplo.

Cálculo de probabilidad: ejemplo. Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 2.- En la tabla para n = 4, buscamos la celda que corresponda a la columna de p = 0.17 y el renglón de x = 2. (Recordemos que con x definimos el número de éxitos) De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 2 éxitos en cuatro selecciones es igual 0.119.

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 4 o más éxitos en 7 selecciones, cuando P = 0.30

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 4 o más éxitos en 7 selecciones, cuando P = 0.30 2.- En la tabla para n = 7, buscamos la celda que corresponda a la columna de p = 0.30 y los renglones de x ≥ 4 De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 4 o más éxitos en 7 selecciones es igual a 0.097 + 0.025 + 0.004 + 0.000 = 0.126

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50.

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50. 2.- Para calcular esta probabilidad utilizamos la columna complementaria: 1 – 0.60 = 0.40 3.- Invertimos la secuencia de las celdas en la columna de p = 0.40

Cálculo de probabilidad: ejercicio. Pregunta: Probabilidad de encontrar 1 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50. 2.- Para calcular esta probabilidad utilizamos la columna complementaria: 1 – 0.60 = 0.40 3.- Invertimos la secuencia de las celdas en la columna de p = 0.40 De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 1 o menos éxitos en 5 selecciones es igual a 0.010 + 0.077 = 0.087

Distribución bionomial en Epi Info.

Distribución bionomial en Epi Info.

Distribución bionomial: aproximación a la normal La distribución normal proporciona una aproximación de la distribución binomial, cuando n es grande y p no está demasiado cercano a 0 ó 1 (cuando el producto npq  5, y p es mayor a 0.1 y menor a 0.9 Para utilizar la aproximación a la normal, hacemos que  = np,  2 =  npq, y 𝑍= 𝑥−𝑛𝑝 𝑝𝑞𝑛

Distribución bionomial: aproximación a la normal La distribución normal proporciona una aproximación de la distribución binomial, cuando n es grande y p no está demasiado cercano a 0 ó 1 (cuando el producto npq  5, y p es mayor a 0.1 y menor a 0.9 Para utilizar la aproximación a la normal, hacemos que  = np,  2 =  npq, y 𝒁= 𝒙−𝒏𝒑 𝒑𝒒𝒏

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a Pn = 0.60 * 50 = 30.

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean menores a 3,250 g.

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 4.- Sabemos que µ = Pn = 30 5.- Calculamos 𝜎= 𝑃𝑄𝑛 = 0.60∗0.40∗50 =3.46

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 6.- Transformamos la variable número de éxitos (x), con µ = 30 y σ = 3.47, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑥−𝑃𝑛 𝑃𝑄𝑛 = 35−30 12 =1.44

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 1.44

Cálculo de probabilidades: ejercicio. n = 50 PQn = 12 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(𝑥< 35) = 0.50 + 0.43 = 0.92

Distribución bionomial: aproximación a la normal Es necesario tener presente que la aproximación de la distribución normal a la distribución binomial es eso, una aproximación. Cuando calculamos la misma probabilidad mediante la distribución binomial el resultado es igual a 0.90

Distribuciones muestrales La distribución de las proporciones muestrales, calculada con base en muestras aleatorias simples de tamaño n sacadas con remplazo de una población, tiene una forma aproximadamente normal si nPQ son mayores o iguales a cinco, y la media y la varianza de la distribución muestral serán iguales a 𝜎 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 𝜇 𝑝 =𝑃

Distribuciones muestrales Para calcular z recurrimos a A partir de conocer z solo resta utilizar la tabla para hallar la probabilidad deseada. 𝑍= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 −𝑃 𝑃𝑄 𝑛

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a P = 0.22

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean menores a 0.25

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 4.- Sabemos que µ = P = 0.22 5.- Calculamos 𝜎= 𝑃𝑄 𝑛 = 0.60∗0.40 250 =0.031

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 6.- Transformamos la variable proporción en la muestra, con µ = 0.22 y 𝜎 𝑝 = 0.031, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑝 −𝑃 𝜎 𝑝 = 0.25−0.22 0.60∗0.40 250 =0.97

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 0.97

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n = 250 PQn = 42.9 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P( 𝑝 < 0.25) = 0.50 + 0.33 = 0.83

Distribuciones muestrales Cuando estamos interesados en comparar dos poblaciones, y las muestras son sacadas con remplazo, la distribución muestral tiene una forma aproximadamente normal si nPQ es mayor o igual a cinco para cada muestra, siendo la media y la varianza de la distribución muestral igual a 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 2 = 𝑃 1 𝑄 1 𝑛 1 + 𝑃 2 𝑄 2 𝑛 2 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃 1 − 𝑃 2

Distribuciones muestrales Para calcular z recurrimos a Considerando el supuesto de la hipótesis nula, la fórmula anterior puede escribir como A partir de conocer z solo resta utilizar la tabla para hallar la probabilidad deseada. Z= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑃 1 − 𝑃 2 𝑃 1 𝑄 1 𝑛 1 + 𝑃 2 𝑄 2 𝑛 2 Z= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 1 − 𝑝 2 −0 𝑃𝑄 𝑛 1 + 𝑃𝑄 𝑛 2

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn1 > 5 y PQn2 > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a P1 – P2 = 0

Cálculo de probabilidades: ejemplo. PP(| 𝑝 1 − 𝑝 2 | ≥ 0.10) P = 0.66 n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean mayores a |0.10|. 3.1.- Para este ejemplo sombreamos los dos extremos, porque estamos buscando el área que tenga muestras con diferencias > |0.10|. (Recordemos que |-0.10| = 0.10)

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 4.- Ya sabemos que 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃 1 − 𝑃 2 =0 cuando las dos muestras se tomaron del mismo universo. 5.- Calculamos 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 1 + 𝑃𝑄 𝑛 2 = 0.6∗0.4 100 + 0.6∗0.4 85 =0.07

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 6.- Transformamos la variable de diferencia de proporciones con 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 =0 y 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 0.07, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑝 1 − 𝑝 2 −0 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 0.10−0 0.6∗0.4 100 + 0.6∗0.4 85 =1.43

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 1.43

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(| 𝑝 1 − 𝑝 2 | ≥ 0.10) = 0.08 + 0.08 = 0.16

Distribuciones muestrales Si el muestreo se hace sin remplazo, entonces El factor (N - n)/(N - 1) se denomina factor de corrección de población finita (CPF). Podemos pasarlo por alto si el tamaño de la muestra es pequeño en relación con el tamaño de la población (n < N*0.05). 𝜎 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 ∙ 𝑁−𝑛 𝑁−1 𝜇 𝑝 =𝑃