GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA U.D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT U.D. 12.4 * 1º BCT POSICIONES RELATIVAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ Dos rectas serán PARALELAS si tienen la misma inclinación o pendiente: m = m’  A / A’ = B / B’ <> C / C’ Dos rectas serán COINCIDENTES si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: m = m’ y n = n’  A / A’ = B / B’ = C / C’ Dos rectas serán SECANTES si NO tienen la misma pendiente. m <> m’  A / A’ <> B / B’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CASO PARTICULAR DE RECTAS SECANTES Dos rectas serán PERPENDICULARES si cumplen la condición: m = - 1 / m’  A.A’ = - B. B’ r s r s s r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(3, 4) y que es paralela a la recta r cuya ecuación continua es: x - 4 y + 5 r: -------- = -------- 3 2 De la ecuación dada obtenemos su vector director: v=(3,2) Si dos rectas son paralelas, el vector director es el mismo. Luego hay que hallar la ecuación de la recta que pasa por A’(3, 4) y v=(3, 2) y - 4 = 2/3.( x – 3 )  3.y - 12 = 2.x – 6  s: 2.x – 3.y + 6 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(-2, 5) y que es paralela a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es la misma al ser paralelas: m’ = m = 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 5 = 3.( x + 2 )  y - 5 = 3.x + 6  s: 3.x – y + 11 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(- 3, 2) y es paralela a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser paralelas: m’ = m = 5/4 Por la ecuación punto-pendiente: y - 2 = (5/4).( x + 3 )  4.y - 8 = 5.x + 15  s: 5.x – 4.y + 23 = 0 Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(1, 1) y que es perpendicular a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / 3 y - 1 = (- 1/3).( x - 1)  3.y - 3 = - x + 1  s: x + 3.y – 4 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto O(0, 0) y es perpendicular a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser perpendiculares: m’ = - 1 / m = - 1 / (5/4) = - 4 / 5 Por la ecuación punto-pendiente: y - 0 = (- 4 / 5).( x - 0 )  5.y = - 4.x  s: 4.x + 5.y = 0 Ejemplo 6 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’( - 2, 7) y que es perpendicular a la recta r: (x, y) = (3, - 4 ) + t.(- 7, 2) En la ecuación vectorial dada: v=(- 7, 2 )  m = b/a = 2/(-7) = - 7 / 2 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / (- 7 / 2) = 2 / 7 y - 7 = (3/7).( x + 2)  7.y - 49 = 3.x + 6  s: 3.x – 7.y + 55 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT HAZ DE RECTAS SECANTES Se llama haz de rectas secantes con vértice P(a,b) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. y – b = m (x – a) Para cada valor de m tendremos una recta del haz. Si en lugar del vértice nos dan dos rectas cualesquiera del haz, entonces podemos resolver el sistema que forman para hallar el vértice, o también poner: Sea las rectas r: A.x + B.y + C = 0 y s: A’.x + B’.y + C’ = 0 El haz de rectas será: A.x + B.y + C + λ (A’.x + B’.y + C’) = 0 donde para cada valor λ tendremos una recta distinta del haz de rectas, incluidas las rectas r y s. P(a,b) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT HAZ DE RECTAS SECANTES EJEMPLO 1 Hallar el haz de rectas de vértice el punto P(-1, 3). y – 3 = m (x + 1) m.x – y + (m+3)=0 EJEMPLO 2 Hallar el haz de rectas que forman r: 4x – y = 0 y s: 3x – 7y +1 = 0 4.x – y + λ (3.x – 7y + 1) = 0 (4+3.λ).x – (1+7.λ).y + λ = 0 EJEMPLO 3 Hallar el haz de rectas secantes que forman r: x – 3y = 0 y s: x = 2 x – 3y + λ.(x – 2) = 0 (1+λ).x – 3.y – 2.λ = 0 P(a,b) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

HAZ DE RECTAS PARALELAS Se llama haz de rectas paralelas a todas las rectas afines a una dada. Sea la recta r: Ax + By + C = 0 El haz de rectas paralelas a r será: Ax + By + k = 0 Para cada valor de k tendremos una recta del haz. EJEMPLO 1 Hallar el haz de rectas paralelas a r: 2x – y = 5. 2.x – y + k = 0 EJEMPLO 2 Hallar el haz de rectas paralelas a r: 3.x = 5.y 3.x – 5.y + k = 0 EJEMPLO 3 Hallar el haz de rectas paralelas, donde una recta es r: x = 0 x + k = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT