Modelos probabilísticos   La geoestadística busca estudiar “variables regionalizadas”, es decir, variables numéricas que se extienden en el espacio geográfico, por ejemplo:  ·      ley de cobre en un yacimiento cuprífero, potencia de una veta de oro  ·      porosidad y permeabilidad de la roca en un depósito petrolero  ·      concentración de un elemento contaminante en la atmósfera  ·      pH y tasa de aluminio de muestras de suelo  ·      densidad de árboles en una zona forestal Ahora bien, en la mayoría de las situaciones, un modelamiento determinista de la variable regionalizada en estudio no es concebible, dada la gran complejidad de esta variable. Un modelo probabilístico es más adecuado, pues permite considerar tanto lo que se conoce de la variable (mediciones disponibles por la toma de muestras) como lo que se desconoce (concepto de probabilidades).

Límites de la estadística “clásica”    Se considera las observaciones como realizaciones independientes de una misma variable aleatoria. Esta interpretación impide una previsión precisa de un valor no muestreado

El modelo geoestadístico   Se considera “interacciones” entre las observaciones, de modo de tomar en cuenta sus dependencias espaciales Aquí, se puede prever el valor en un sitio no muestreado gracias a su interacción con los sitios circundantes

Formalización matemática    Se interpreta cada valor de la variable regionalizada en estudio z(x) como una realización de una variable aleatoria Z(x) Las variables {Z(x), x  D} constituyen una función aleatoria   la variable regionalizada es una realización de una función aleatoria    Cuidado  Las diferentes variables aleatorias {Z(x1),Z(x2)... Z(xp)} NO son independientes variables aleatorias correlacionadas aspecto errático estructura espacial

Caracterización de una función aleatoria    Es ilusorio querer caracterizar enteramente la función aleatoria a partir de un número restringido de datos. Por ende, sólo se considera los parámetros más relevantes o “primeros momentos”, los cuales son:  ·      esperanza de un valor: m(x) = E[Z(x)]  ·      varianza de un valor: s2(x) = var[Z(x)]  ·      covarianza entre dos valores: C(x,y) = cov[Z(x),Z(y)]  ·      variograma entre dos valores: g(x,y) = var[Z(x) – Z(y)] / 2   Los parámetros lejos los más importantes son los dos últimos, pues se refieren a la interacción existente entre dos valores, luego dan una imagen sintética de la estructuración de la variable regionalizada en el espacio. La covarianza indica qué tan semejantes son los valores entre dos sitios, mientras que el variograma qué tan desemejantes son.

Las hipótesis de estacionaridad   ¿Por qué? Consideremos la siguiente sucesión de muestras, ubicadas en una malla regular de espaciamiento 100m: sitio x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 valor 5 1 3 6 2 4 ¿Cuánto valen la esperanza en el sitio x1 y la covarianza entre los valores en los sitios x1 y x2? No se puede contestar a esta pregunta si se dispone de una sola realización: no tiene sentido hablar de la esperanza de 5 y de la covarianza entre los valores 5 y 1... El cálculo de los momentos necesita una repetición de los valores aleatorios, lo cual se logra gracias a las hipótesis de estacionaridad.

Hipótesis de estacionaridad de segundo orden  ·  la esperanza es constante: m = E[Z(x)]  ·  la covarianza entre dos valores depende solamente de su separación:  C(h) = cov[Z(x),Z(x + h)] Consecuencias  ·  la varianza es constante: s2 = var[Z(x)] = C(0)  ·  el variograma entre dos valores sólo depende de su separación:  g(h) = var[Z(x) – Z(x + h)] / 2 = C(0) – C(h)    Bajo esta hipótesis, covarianza y variograma son dos herramientas equivalentes.

Evaluación práctica de los momentos m  media({5,1,3,6,5,2,1,5,2,4,5,6}) s2  varianza({5,1,3,6,5,2,1,5,2,4,5,6}) C(100m)  cov({5,1},{1,3},{3,6},{6,5},{5,2},{2,1},{1,5},{5,2},{2,4},{4,5},{5,6}) C(200m)  cov({5,3},{1,6},{3,5},{6,2},{5,1},{2,5},{1,2},{5,4},{2,5},{4,6}) C(300m)  cov({5,6},{1,5},{3,2},{6,1},{5,5},{2,2},{1,4},{5,5},{2,6}) ¿Qué traduce la estacionaridad? La estacionaridad significa una homogeneidad de las características de la variable regionalizada: media y dispersión aproximadamente constantes, estructuración de los valores similar en todas las regiones del espacio. Se puede restringir la hipótesis de estacionaridad a escala local (noción de casi-estacionaridad), es decir, que es valedera hasta una distancia máxima.

g(h) = var[Z(x) – Z(x + h)] / 2 Hipótesis intrínseca (estacionaridad de los crecimientos de la variable) ·  la esperanza es constante: m = E[Z(x)] ·  el variograma entre dos valores depende solamente de su separación:  g(h) = var[Z(x) – Z(x + h)] / 2 Consecuencias A diferencia de la hipótesis anterior, aquí la varianza y la covarianza no existen necesariamente. Por eso, el variograma constituye una herramienta más general que la covarianza. Existe una covarianza sólo si el variograma se estabiliza al infinito, caso en el cual se tiene  ·  varianza: s2 = g() = C(0)  ·  covarianza: C(h) = C(0) – g(h)

Evaluación práctica de los momentos m  media({5,1,3,6,5,2,1,5,2,4,5,6}) g(100m)  var({4,-2,-3,1,3,1,-4,3,-2,-1,-1}) / 2 g (200m)  var({2,-5,-2,4,4,-3,-1,1,-3,-2)} / 2 g (300m)  var({-1,-4,1,5,0,0,-3,0,-4}) / 2 Hipótesis casi-intrínseca Se puede restringir la hipótesis intrínseca a escala local, lo cual significa que es válida hasta una distancia máxima. La escala de trabajo y la eventual presencia de tendencias desempeñan un papel importante en la decisión de considerar la variable regionalizada como una realización de una función aleatoria estacionaria o intrínseca.

Ejemplo

Caso de estudio: datos mineros 2376 datos compositados de 12m de largo con sus leyes de cobre creación de compósitos a partir de testigos:

Mapa de ubicación de las muestras Da una visión sintética de la organización espacial de las leyes

Estadísticas elementales Se considera una ponderación no uniforme de las muestras, de modo de corregir los efectos de las irregularidades de muestreo  la distribución de leyes es cercana a una lognormal

Nubes direccionales Permiten detectar las observaciones más atípicas y estudiar la pertinencia de una hipótesis de estacionaridad  efecto proporcional: las zones de altas leyes tienen mayor dispersión  casi-estacionaridad

Nube de correlación diferida Se visualiza el valor en un sitio en función del valor en un sitio alejado de 20m.

Nube de correlación entre medias y varianzas locales La zona de estudio ha sido dividida en 72 celdas de tamaño 100 m × 100m × 40m en cada una de las cuales se calcula la media y la varianza experimental regresión: