SUMA DE MATRICES 2º BCT

SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (La matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta.

OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica SUMA DE MATRICES OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 2 6 10 = 6 10 14 10 14 18

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escalar, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. PROPIEDADES Es distributiva respecto a la suma de matrices: k.(A+B)=k.A+k.B Es distributiva respecto a la suma de escalares: (k1+k2).A=k1.A+k2.A Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A Tiene elemento unidad: 1.A = A

PRODUCTO DE k.A 1 4 7 . 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k 1 4 7 . 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k k . A = k 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10 (-2) . A = (-2) .

PRODUCTO DE MATRICES Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. Ejemplo_1 d ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f f Ejemplo_2 4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28 -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7

Producto: DEFINICIÓN Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. El resultado es una matriz de tamaño mxp. a d . b e c f 2a+3b+4c 2d+3e+4f = 5a+6b+7c 5d+6e+7f 2 3 4 5 6 7 Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2]

Ejemplo -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5) 2 -3 4 -5 6 -1 -2-12-8 4-9-20 = 5+24+2 -10+18+5 -22 -25 = 31 13

Propiedades del PRODUCTO Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C No es conmutativa: A.B <> B.A Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre.

Ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 8 17 = 26 53 1 2 4 5 4 7 2 5 32 43 = 22 29 7 2 5 1 2 4 5

POTENCIA DE UNA MATRIZ A2 = A.A A3 = A2 .A A4 = A3 .A An = An – 1 . A 1 0 Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = 1 1

Ejemplo de potencias de matrices 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 1 0 A = = 2 1 1 1 3 1 4 n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ?

MATRIZ INVERSA Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A . A – 1 = A – 1. A = I , siendo I la matriz identidad. PROPIEDADES La inversa de la inversa es la matriz dada. La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta. Si A.X = B, siendo A y B matrices … X = B / A, pero como no se pueden dividir matrices … X = A -1 ·B

CALCULO MATRIZ INVERSA MÉTODO DIRECTO Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y A = , hay que hallar A = 5 6 z t -1 Como A . A = I , efectuamos el producto de matrices e identificamos elementos, quedándonos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que hay que resolver. 3.x + 4.z = 1 3.x + 4.z = 1 3.y + 4.t = 0 3.y + 4.t = 0 5.x + 6.z = 0 5.x + 6.z = 0 5.y + 6.t = 1 5.y + 6.t = 1 Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa.

... MÉTODO DIRECTO Resolviéndolo: 15.x + 20.z = 5 2.z = 5  z = 5 / 2 15.y + 20.t = 0 x = - 45 / 15  x = -3 15.x + 18.z = 0 2.t = - 3  t = - 3 / 2 15.y + 18.t = 3 y = 30 / 15  y = 2 Podemos comprobar que A.A-1=A-1.A = I 3 4 -3 2 -9+10 6-6 1 0 5 6 . 5/2 -3/2 = -15+15 10-9 = 0 1 -3 2 3 4 -9+10 -12+12 1 0 5/2 -3/2 . 5 6 = 15/2-15/2 10-9 = 0 1

Calculo matriz inversa MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 )

Ejemplo: Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y A = , hay que hallar A = -1 5 6 z t Como A . A = I , aplicamos el método de Gauss.Jordan: 3 4 1 0 que es ( A | I ) 5 6 0 1 F2= 5F1-3F2: 3 4 1 0 0 2 5 -3 F1=F1-2F2: 3 0 -9 6

Que es la matriz inversa. F1=F1/3. Queda: 1 0 - 3 2 0 -2/3 -5/3 1 F2=F2/2. Queda: 1 0 - 3 2 0 1 5/2 -3/2 Queda: -1 - 3 2 A = 5/2 - 3/2 Que es la matriz inversa.

Otro Ejemplo: Dada la matriz de orden 3: 3 4 0 -1 A = -2 1 -1 , hay que hallar A 5 0 6 3 4 0 1 0 0 -2 1 -1 0 1 0 que es ( A | I ) 5 0 6 0 0 1 F2=2F1+3F2. Queda: 3 4 0 1 0 0 0 11 -3 2 3 0 5 0 6 0 0 1 F3=5F1-3F3. Queda: 3 4 0 1 0 0 0 11 -3 2 3 0 0 20 -18 5 0 -3

F3=20F2-11F3 . Queda: 3 4 0 1 0 0 0 11 -3 2 3 0 0 0 138 -15 60 33 F2= 46F2+F3. Queda: 3 4 0 1 0 0 0 506 0 77 198 33 0 0 138 -15 60 33 F1=506F1-4F2. Queda: 1518 0 0 198 -792 -132 0 506 0 77 198 33 0 0 138 -15 60 33 F1=F1/506 F2=F2/220 F3=F3/138. Queda: 1 0 0 198/1518 -792/1518 -132/1518 0 1 0 77/506 198/506 33/506 0 0 1 -15/138 60/138 33/138

SISTEMAS MATRICIALES 2º BCT

ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos -1 X = A .B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – 2 + 3 x 4 A = 5 + 6 – 7 X = y C = 8 9 – 10 11 z 12

... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = A-1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A-1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3 1 0 0 5 + 6 – 7 0 1 0 9 – 10 11 0 0 1 F2=F2 – 5F1 y F3=F3 – 9F1 0 16 – 22 -5 1 0 0 8 -16 -9 0 1

... Ejemplo F3=F3 – 0,5F2 y F3=F3:16 1 – 2 3 1 0 0 0 1 – 22/16 -5/16 1/16 0 0 0 – 5 -6,5 -0,5 1 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – 2 0 -2,9 -0,3 0,6 0 0 1 1,3 0,1 -0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 1 0 0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 1,475 0,2 -0,275 0 0 1 1,3 0,1 -0,2

... Ejemplo 0,05 0,1 0,05 La matriz inversa es A-1 = 1,475 0,2 -0,275 1,3 0,1 -0,2 Las soluciones del sistema serán: 0,05 0,1 0,05 4 X = A-1 .C = 1,475 0,2 -0,275 . 8 1,3 0,1 -0,2 12 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,6 X= y  y = 4,2 z  z = 3,6

PROBLEMAS DE GRAFOS A C D B Un grafo es aquella figura que nos permite representar las relaciones existentes entre los elementos de un conjunto. Representamos por 1 cuando hay relación entre dos elementos y por 0 cuando no la hay. La matriz correspondiente se compondrá pues de unos y ceros. Sea la situación siguiente: Andrés ( A) conoce la dirección E_mail de Belén (B) y la de Carlos (C) Belén (B) conoce la dirección E_mail de Carlos ( C) Carlos (C) conoce la dirección E_mail de Andrés (A) y la de Belén (B) Diana (D) sólo conoce la dirección E_mail de Carlos (C) A C D B

MATRICES EN ECONOMIA En numerosas situaciones del mundo económico se presentan casos en los que aparece: Una serie de elementos de un colectivo (por ejemplo, un holding empresarial). Unos recursos o beneficios obtenidos por cada elemento (cada empresa del holding, por ejemplo) Una normativa que obliga a que cada elemento transfiera a los demás parte de sus recursos o beneficios. La normativa puede ser representada por una matriz de transferencia M, que se formará poniendo en cada columna los porcentajes que obligan a cada elemento. Recursos Recursos Tendremos así: M. = Iniciales Finales

EJEMPLO En una familia el padre (P), la madre (M) y el hijo (H) ganan 1.600 €, 1.100 € y 900 € al mes respectivamente. El padre da el 50% a la madre, el 30% al hijo y el resto se lo queda él. La madre se queda la mitad y la otra mitad se lo da al hijo. El hijo por su parte se queda con un 70% de lo que gana y el resto se lo da a la madre. ¿Qué cantidad de dinero corresponderá a cada uno al mes ?. RESOLUCIÓN Sabiendo que M.(RI) = (RF) P M H 0,2 0 0 1600 320 P 0,5 0,5 0,3 1100 = 800+550+270 M 0,3 0,5 0,7 900 480+550+630 H corresponde a cada uno ( P, M e H, en € ) Al padre 320 € , a la madre 1620 € y al hijo 1660 €

EJEMPLO PROPUESTO Una empresa fabrica cuatro tipos de artículos: A, B, C y D. Los precios de coste de cada unidad son 6, 9, 14 y 20 € respectivamente. Los precios de venta de cada unidad son 18, 28, 40 y 52 € respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625, 842 y 530 respectivamente.. Hallar los beneficios. Resolución: Las matrices de costes, ingresos y ventas son: COSTES INGRESOS VENTAS 6 0 0 0 18 0 0 0 0 9 0 0 0 28 0 0 2240 1625 842 530 0 0 14 0 0 0 40 0 0 0 0 20 0 0 0 52 BENEFICIOS = INGRESOS - COSTES = V.I – V.C