MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 2º BACHILLERATO ÁLGEBRA

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.) DEFINICIONES BÁSICAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS MATRICES. DEFINICIONES OPERACIONES CON MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA MATRIZ INVERSA CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER 5) PROGRAMACIÓN LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.) Definiciones básicas: Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias incógnitas. Ejemplos: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Una ecuación es lineal si es una suma de términos. Cada término consiste en un número multiplicado por una incógnita. 1,3,4,6 En los ejemplos anteriores, son ecuaciones lineales: no son ecuaciones lineales: 2 y 5

El sistema no tiene solución Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un conjunto de ecuaciones lineales. Llamaremos solución del sistema a una serie de números que al sustituirlos por las incógnitas en las ecuaciones dan lugar a igualdades numéricas ciertas. Resolver un sistema es hallar TODAS las soluciones del sistema EJEMPLOS: Despejamos en la segunda ecuación y=3 y sustituimos en la primera ecuación: 2x+3·3=5, 2x=5-9 Solución: x=-2, y=3 Por el método de reducción, multiplicamos por -2 la primera ecuación y sumamos: 5y=-4; y=-4/5. Sustituyendo en la primera x=21/5 Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad falsa 0=13. ¿Qué significa esto? El sistema no tiene solución Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad cierta 0=0. ¿Qué significa esto? Se puede eliminar la segunda ecuación. El sistema tiene infinitas soluciones x=9+2y

MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS EQUIVALENTES: Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones Transformaciones de un sistema que dan lugar a otro equivalente: Trasponer términos de un miembro a otro, cambiando el signo. Multiplicar una ecuación por un número distinto de 0 Eliminar una ecuación igual (o múltiplo) de otra Sustituir una ecuación por ella misma más otra multiplicada por un número Cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas El método de Gauss consiste en aplicar estas transformaciones hasta obtener un sistema “triangular” o “escalonado” (todos los coeficientes por debajo de la diagonal son cero) como este: Que resolvemos, despejando la z en la última ecuación, y sustituyendo en la anterior y así sucesivamente “hacia arriba”. z=4, y=12, x=-7

Pivote, se puede multiplicar por -1 Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1 E2-3E1 E3-5E1 E3-2E2 Pivote, se puede multiplicar por -1 SCD. Solución: (-4,6,1) E2-E1 E3-2E1 SCD. Solución: (1,2,3) E2-2E1 E3+E1 E3+E2 Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI E2-2E1 E3+E1 E3+E2 Igualdad numérica cierta ¿?

Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y continuamos resolviendo el sistema. En el caso del último ejemplo hemos acabado en un sistema triangular pero tenemos un “exceso” de incógnitas. Lo que haremos será “pasar” la z al otro miembro y resolver el sistema en función de z Para cada valor de z obtenemos unos valores de x e y. Por tanto el sistema tiene infinitas soluciones. (SCI). Para que quede más elegante, hacemos: Resuelve: x +y -z =1 3x +2y +z 5x +3y +4z =2 -2x -y +5z =6 x -y +z +4t =6 2x +3y -z -11t =-7 y +t =1 3 2x -y -z =2 3x -2y +4z =1 1 2 Soluciones: Sistema incompatible SI

Disposición práctica del método de Gauss Puesto que los cálculos los hacemos con los coeficientes, las incógnitas se pueden no poner, obteniendo así una tabla numérica que tenemos que triangularizar operando con las filas exactamente igual que operábamos con las ecuaciones. Cuando hayamos llegado a la tabla triangular, recomponemos el sistema y resolvemos. Resuelve el siguiente sistema 2x +5y =16 x +3y -2z =-2 +z =4 2 5 16 1 3 -2 4 1 4 3 -2 2 5 16 1 4 3 -3 -6 5 -2 8 E2-E1 E2:3 E3-2E1 1 4 -1 -2 5 8 1 4 -1 -2 3 18 x=-2 y=4 E3-5E2 z=6

Resuelve el siguiente sistema x -2y +z =11 2x -y +t =9 5x =24 -z +2t =0 1 -2 11 2 -1 9 5 24 1 -2 11 3 -13 9 -4 -31 8 -6 2 -55 1 -2 11 3 -13 2 8 -61 E2-2E1 E3-5E1 E3-3E2 E4-5E1 3E4-8E2 1 -2 11 3 -13 2 8 -4 -53 SCD. Solución(-3/4,11/4,69/4,53/4)

Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué? SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero 2x -3y +z =0 3x -y 4x +y -z 2 -3 1 3 -1 4 2 -3 1 7 2x -3y +z =0 7y -3z 2E2-3E1 E3-2E1 SCI: (t/7, 3t/7, t) x -2y +z =0 -y -2z 4x +y -z SCD (0,0,0) Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué?

! Resolución de un sistema según los valores de un parámetro Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro a x +y +2z =2 2x -y +3z 5x +az =6 ! No de trata de un único sistema. Son infinitos sistemas (uno para cada valor de a) y tenemos que decir cómo es cada uno de estos sistemas (SI; SCD ó SCI) y resolverlo en los casos de compatibilidad Empezamos a resolver el sistema por el método de Gauss 1 2 -1 3 5 a 6 1 2 -3 -1 -2 -6 a-10 -4 1 2 3 a-8 x +y +2z =2 3y +z (a-8)z =0 Normalmente, para acabar de resolver el sistema hay que dividir. Y aquí es donde aparecen las alternativas porque, recuerda: NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0 SCD x +y +2z =2 3y +z SCI. Solución:

Planteamiento de sistemas Un hombre se encarga de transportar vasos de porcelana a condición de pagar, por cada vaso que rompa, tanto como recibiría por llevar en buen estado un vaso de igual tamaño. La siguiente tabla muestra el resultado de sus tres primeros viajes: Pequeño mediano grande Rompe.. Recibe 2 4 9 los medianos 28€ 7 3 5 Los grandes 3€ 10 11 4€ ¿Cuánto se le paga por el transporte de cada tipo de vaso? RECUERDA: debes asignar un valor real a cada variable 2x -4y +z =28 7x +3y -5z =3 9x +10y -11z =4 Sol: por cada vaso pequeño: 2€; mediano:3€, grande: 4€.

Un administrador tiene que repartir una herencia de 8600€ entre tres personas: A, B, C pero de forma que por cada dos euros que le dé a A debe darle 3€ a B, y por cada 5€ que le toquen a B debe darle 6€ a C. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno? Sol: a A le corresponden 2000€, a B 3000 y a C 3600€