GEOMETRÍA PUNTOS EN EL ESPACIO EL ESPACIO AFÍN A3

Vector de posición del punto P: CONCEPTOS BÁSICOS Consideramos el conjunto de todos los puntos del espacio. A dicho conjunto le llamaremos espacio afín tridimensional y lo designamos por A3 Definición: Llamaremos sistema de referencia del espacio de puntos a un conjunto formado por un punto fijo (O: origen) y tres vectores que formen base del espacio vectorial V3 En la práctica, utilizaremos siempre una base ortonormal P Definición O Vector de posición del punto P: OP Definición Coordenadas del punto P = Coordenadas del vector OP P Coordenadas de P=(x.y,z) O P=(1,2,1’5)

COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS OQ PQ PO = + OQ PQ OP = - PQ = coordenadas de Q – coordenadas de P Coordenadas de Ejercicio: sean los puntos P(1,-4,5) y Q(-2,3,-6). Calcula las coordenadas de PQ y halla un punto R que cumpla: OR PQ = Solución: (-3,7,-11)

VECTORES CON LA MISMA DIRECCIÓN Recuerda: tienen la misma dirección existe un número t que cumple: Ejemplo 1: ¿Están alineados los puntos P(1,1,3) Q(-1,6,7) y R(0,2,3)? ☺considera los vectores que unen los puntos PQ y PR ¿cómo deben ser? Ejemplo 2: Halla m y n para que los puntos P(1,m,3) Q(-1,1,2) y R(0,2,n) estén alineados solución: m=3; n=5/2 Ejemplo 3: Halla un vector unitario (módulo 1) con la misma dirección y el mismo sentido que el vector (1,2,2) solución: (1/3,2/3,2/3)

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL ¿Cómo se determina una recta? Para determinar una recta, utilizaremos un punto fijo de la recta A y un vector que tenga la dirección de la recta, (vector director) ECUACIÓN VECTORIAL ¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en la recta? u AX || X Existe un numero t que cumple: u tu AX = A OX - OA = tu Ecuación vectorial de la recta tu OX = OA +

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Si sabemos las coordenadas del punto y del vector director: A= (a1,a2,a3) Vector director: (u1,u2,u3). Sea X un punto cualquiera de la recta X=(x,y,z) (x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(u1,u2,u3) x=a1+tu1 y=a2+tu2 z=a3+tu3 Ecuaciones paramétricas de la recta ECUACIONES CONTINUAS Despejando el parámetro t en la tres ecuaciones paramétricas anteriores e igualando las expresiones, obtenemos: Ecuaciones continuas de la recta

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Para calcular las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos P y Q, tomaremos como punto fijo uno cualquiera de los dos (P o Q) y como vector director el vector PQ Ejemplo 1: Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta que pasa por los puntos P(1,0,2) y Q(-1,3,3) x=1-2t y=3t z=2+t Ejemplo 2: Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta paralela a la anterior que pasa por el punto O.

ECUACIONES DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL ¿Cómo se determina un plano? Para determinar un plano, utilizaremos un punto del plano A y dos vectores (no paralelos) que tengan la dirección del plano, (vectores directores) ECUACIÓN VECTORIAL ¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en el plano? u A AX es C.L. de u y v X existen dos números t y s que cumplen: v Ecuación vectorial del plano

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Si sabemos las coordenadas del punto y de los vectores directores: A= (a1,a2,a3) Vectores directores: (u1,u2,u3) y (v1, v2, v3). Sea X un punto del plano X=(x,y,z) (x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(u1,u2,u3)+s(v1, v2, v3) x=a1+tu1+sv1 y=a2+tu2+sv2 z=a3+tu3+sv3 ecuaciones paramétricas del plano Ejemplo 1: Sea el plano definido por el punto y los vectores siguientes: x=0+t+s y=1+t z=-2+2t+s ecuaciones paramétricas del plano

ECUACIÓN GENERAL Como hemos visto, la condición que debe cumplir el punto X para estar en el plano es: AX es C.L. de u y v Si formamos la matriz cuyas columnas son los vectores AX u v ¿Qué rango tendrá dicha matriz? ¿Cuánto valdrá su determinante? ecuación general del plano Ejemplo 2: halla la ecuación general del plano del ejemplo1 x+(y-1)-(z+2)=0 x+y-z-3=0