Ecuación de la recta Prof. Lucy Vera V. NM3

OBJETIVOS Conocer forma general, principal y de Segmentos o Simétrica de una recta. Representar gráficamente ecuaciones de recta. Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente. Determinar si dos rectas son paralelas, coincidentes o perpendiculares. .

Contenidos 1 Ecuación General de la recta 2 Ecuación Principal de la recta 3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta 4 Gráfica de la línea recta 5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente 6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella. 7 Rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas perpendiculares 3

LA RECTA Definición Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente. Ejemplos: 1. 5x + 6y + 8 = 0 2. y = 4x + 7 3. 6x + 4y = 7

Ecuación de la recta 1. Ecuación General de la recta Es de la forma: Ax + By + C = 0, con a, b y c reales. Ejemplos: 1. 5x + 6y + 8 = 0 2. 2x - 4y + 7 = 0 3. -x + 12y - 9 = 0 Obs. m= n=

y = mx + n 2. Ecuación Principal de la recta Es de la forma: m : pendiente n : coeficiente de posición El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n). Ejemplos: 1) y= 2x -3 m=2 n=-3 2) y= 3x – 4 2 y=3 x – 2 2 m= n=-2

3. Ecuación de Segmentos o simétrica de la recta y b x a

CLASE 2 2° y 3° OBJETIVO

4. Gráfica de la recta Para graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar dos puntos de ella. 1 -2 Ejemplo: Representación gráfica de: y = 2x + 3 x y 3 7 2 Si un punto (x,y) pertenece a esta recta, entonces se debe cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuación. Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3

Ejemplos 1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal. n = 3 Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.

2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n: a) y = x – 8 m = 1 y n = -8 b) y = 4x m = 4 y n = 0 c) 6x – y+ 13 = 8 Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las fórmulas dadas para m y n: 6x – y + 5=0 m = -6/-1 = 6 Luego, m = 6 y n = 5. n = -5/-1 = 5

5. Ecuación de la recta, dado un punto de ella y la pendiente La Ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”, se puede obtener a través de la siguiente fórmula: y – y1 = m (x – x1) Ejemplo: La ecuación de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es: y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18 y = -6x + 16

6. Ecuación de la recta, dados dos puntos La Ecuación de la recta que pasa por los puntos: P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) se puede obtener a través de la siguiente fórmula: y – y1 = (x – x1) y2 – y1 x2 – x1

x1 y1 x2 y2 ( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es: 6 – (-3) y – (-3) = (x – 2) 9 Ejemplo 1:La ecuación de la recta que pasa por los puntos x1 y1 x2 y2 y – y1 = (x – x1) y2 – y1 x2 – x1 ( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es: y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3) 5 – 2 y + 3 = (x – 2) 9 3 y + 3 = 3 (x – 2) y + 3 = 3x – 6 y = 3x – 6 - 3 y = 3x – 9

Ejemplo 2: Encuentre la ecuación de la recta a partir del gráfico y 1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=n 6 x 2° Determinar la pendiente: m= , es decir, -5 3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos: 4° También se puede usar la forma de segmentos: /*30 5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representan la misma recta.

Desarrollar actividades de refuerzo sobre ecuación de la recta. OBJETIVO Desarrollar actividades de refuerzo sobre ecuación de la recta.

ACTIVIDADES 1. Dada la siguiente gráfica encontrar ecuación general y principal de la recta

2. En las siguientes ecuaciones determinar m y n. 3 2. En las siguientes ecuaciones determinar m y n. 3. Determinen la ecuación general de la recta que pasa por los puntos, usando la fórmula de ecuación de la recta:

4. Determinen la forma principal de cada una de las rectas que pasa por los puntos indicados, usando la fórmula de ecuación de la recta: 5. La recta L pasa por los puntos A: (2,3) y B: (−1, −12). Determina: a. La ecuación principal de L. b. La ecuación general de L.

6. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 y corta al eje y en el punto (0,2) ? 7. A partir de los datos de la figura, determina:

CLASE 3 4° OBJETIVO

7. Posiciones de dos rectas en el plano: Rectas paralelas: Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición. Ejemplo: L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10 (m = 5) (m = 5)

Rectas coincidentes: Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición. Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 10x + 8 3 6 Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.

Rectas perpendiculares: Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. (m = -5 ) 2 Ejemplo: L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 10 2 5 (m = 2 ) 5

ACTIVIDADES

1. Se tienen dos rectas, una de ellas pasa por los puntos A: (−1, −5) y B: (2,4) y la otra por los puntos C: (3,4) y D: ( 0,5 ) . Determina si las rectas son perpendiculares. 2. Determina cuáles de las siguientes parejas derectas son perpendiculares:

3. Halla una recta paralela a y = −3x + 2 y que pasa por el punto A: (−2,5 ) . 4. Dadas las rectas Indica si son paralelas, perpendiculares o coincidentes.

5. Verifica si se cumplen o no las siguientes afirmaciones 5. Verifica si se cumplen o no las siguientes afirmaciones. Justifica matemáticamente tu respuesta: