Algebra de Boole Sistemas Digitales I

Introducción al Algebra de Boole En 1854 el matemático inglés George Boole formalizó un sistema algebraico de dos valores para expresar cierto razonamiento humano Ejemplo: Yo iré a Zonda, si Carlos o Mario va y si Juan no va En 1938 C. Shannon adaptó el algebra de Boole para describir el comportamiento de circuitos construidos con relés (usados para implementar lógica digital). Usamos F para representar si voy a Zonda, y usamos ‘1’ para representar que voy y ‘0’ no voy: F = (C or M) and not( J) Operadores Lógicos Booleanos Función Lógica Booleana Variable Lógica Booleana Nota: El trabajo presentado por G. Boole era titulado “An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities”

Ejemplos Un Sistema de apagado de incendio (sprinklers) comezará a dejar fluir agua si el sensor de calor supera un valor límite y si el sistema está habilitado. La alarma de un auto sonará si la alarma está habilitada, y el auto se mueve o si una puerta es abierta. Answer: Let Boolean variable h represent “high heat is sensed,” e represent “enabled,” and F represent “spraying water.” Then an equation is: F = h AND e. Answer: Let a represent “alarm is enabled,” s represent “car is shaken,” d represent “door is opened,” and F represent “alarm sounds.” Then an equation is: F = a AND (s OR d). – (a) Alternatively, assuming that our door sensor d represents “door is closed” instead of open (meaning d=1 when the door is closed, 0 when open), we obtain the following equation: F = a AND (s OR NOT(d))

Implementacion de Operadores Booleanos Usando Transistores Simbolo Logico Funcion Logica Circuito Con Transistores Nota: Estos circuitos con transistores son ineficientes, después se verán mejores implementaciones

Diagrama de Tiempo de Compuertas Lógicas

Construcción de Circuito Lógico con Compuertas Sensor de Movimiento a Circuito Lógico f Sensor de Luz b Circuito Lógico a f b

Ejemplo Convertir en circuito lógico la siguiente función lógica: F = a AND NOT (b OR NOT (c) )

Ejemplo 2 Sistema de luz de advertencia del cinturón de seguridad Sensores: S = 1, cinturón ajustado K = 1, llave de encendido insertada P = 1, persona en el asiento Función Booleana: Persona en el asiento, Y cinturón no ajustado, Y llave insertada F = P and not (S) and K k Función Lógica f p s

Axiomas del Algebra de Boole Usaremos un variable simbólica, por ej. X, para representar la condición de una señal lógica Una señal lógica puede tener dos posibles valores, ‘alto’ o ‘bajo’, ‘on’ o ‘off’, ‘1’ o ‘0’ (dependiendo de la tecnología) Los axiomas o postulados de un sistema algebraico constituyen el mínimo número de definiciones que se asumen ser verdaderas, a partir de las cuales se pueden derivar todas las demás reglas algebraicas del sistema

Axiomas del Algebra de Boole A1 X = 0 if X = 1 A1’ X = 1 if X = 0 A2 if X = 0, then X’ = 1 A2’ if X = 1, then X’ = 0 X’ X X Y = X’ ~X X

Axiomas del Algebra de Boole Z = X . Y Z = X + Y y y Producto Lógico (Compuerta AND) Suma Lógica (Compuerta OR) Nota: en una expresión lógica que tiene multiplicación y suma lógica, la multiplicación lógica tiene precedencia sobre la suma lógica

Teoremas del Algebra de Boole T1 X + 0 = X T1’ X . 1 = X T2 X + 1 = 1 T2’ X . 0 = 0 T3 X + X = X T3’ X . X = X T4 (X’)’ = X T5’ X . X’ = 0 T5 X + X’= 1

Teoremas del Algebra de Boole T6 X + Y = Y + X T6’ X . Y = Y . X T7 (X + Y) + Z = X + (Y + Z) T7’ (X . Y) . Z = X . (Y . Z) T8 X . Y + X . Z = X . (Y + Z) T8’ (X + Y).(X + Z) = X + Y .Z T9 X + X . Y = X T9’ X . (X + Y) = X T10 X . Y + X . Y’ = X T10’ (X + Y) . (X + Y’) = X T11 X . Y + X’ . Z + Y .Z = X .Y + X’ . Z T11’ (X + Y) . (X’ + Z) . ( Y + Z) = (X + Y ) . (X’ + Z)

Teoremas del Algebra de Boole T7 (X + Y) + Z = X + (Y + Z) T7’ (X . Y) . Z = X . (Y . Z)

Teoremas del Algebra de Boole T8 X . Y + X . Z = X . (Y + Z) T8’ (X + Y).(X + Z) = X + Y .Z

Teoremas del Algebra de Boole T9 X + X . Y = X T9’ X . (X + Y) = X X + X . Y = X . 1 + X . Y T1’ = X ( 1 + Y ) T8 = X . 1 T2 = X T1’ X Y X.Y X + XY X X Y igual

Teoremas de De Morgan El complemento de un producto de variables lógicas es IGUAL a la suma de los complementos de las variables lógicas XY = X + Y (XY)’ = X’ + Y’

Teoremas de De Morgan El complemento de una suma de variables lógicas es IGUAL al producto de los complementos de las variables lógicas (X + Y) = X . Y (X+Y)’ = X’ . Y’

Ejemplos de Aplicación de De Morgan 1- Aplicar el teorema de De Morgan a las siguientes expresiones: XYZ X + Y + Z

Dado un circuito lógico, se obtiene la función lógica respectiva Función Booleana Es una función cuyo valor resultante (‘0 o ‘1’) dependerá del valor de las variables lógicas y de los operadores lógicos que las vinculan Una función booleana se puede generar de dos formas distintas Dado un circuito lógico, se obtiene la función lógica respectiva Dado un algoritmo verbal, se obtiene la función lógica que lo satisface y se genera el circuito lógico correspondiente

Representación de Función Booleana con Tabla de Verdad Tabla de Verdad: Define el valor de la función (F) por cada posible combinación de los valores lógicas de las variables lógicas entrada Función Booleana de 2 entradas: 4 filas Función Booleana de 3 entradas: 8 filas Función Booleana de 4 entradas: 16 filas

Representación de Función Booleana con Tabla de Verdad Tabla de Verdad: Define el valor de la función (F) por cada posible combinación de los valores lógicas de las variables lógicas entrada

Obtención Función Booleana Desde Un Circuito Dado el siguiente circuito obtener la función booleana respectiva F= AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD’+ABCD

Obtención Función Booleana Desde Algoritmo Verbal Determinar cuando el valor de un numero representado con tres variables lógicas es un numero par A B F C F = ??

Circuitos Lógicos con Múltiple Salidas Muchos circuitos lógicos tienen mas de una salida Se puede: Hacer un circuito separado para cada salida Usar términos lógicos comunes Ejemplo: F = ab + c’ G = ab +bc

Circuitos Lógicos con Múltiples Salidas Tabla de Verdad: Numero binario 4 bits a Display 7 segmentos Decodificador Binario-7 Segmentos abcdefg W X Y Z

Circuitos Lógicos con Múltiples Salidas Contar el número de ‘1’ de tres variables de entrada

Mas Compuertas NAND/NOR son mas comunes de usar

Retardo de Tiempo en una Compuerta Lógica Ideal Real Tiempo Tiempo

Retardo de Tiempo en una Compuerta Lógica

Correcta conexión entre Compuertas Lógicas

Precedencia de Operadores Booleanos Asumiendo que A=1, B= 1, C=0 y D= 1, las siguientes operaciones lógicas se evalúan del modo explicado: F = AB+C Se evalúa primero el producto lógico de AB (es decir A and B, o A.B) y luego al resultado se le suma C. El producto lógico tiene precedencia sobre la suma lógica. F = AB’ Se evalúa primero B’, porque el operador lógico NOT tiene precedencia sobre el operador lógico AND. Así, F = 1. (1’) = 1.(0) = 1.0 = 0 F = (AC)’ El paréntesis hace que se evalue primer lo que esta dentro del mismo, y luego al resultado se le aplica el operador NOT. F = (1.0)’ = (0)’ = 1 F = (A+B’).C+D’ Primero se evalúa el paréntesis: (1+1’)=(1+0)=1. Luego el producto lógico del resultado del paréntesis con C: 1.0 = 0. Antes se realizar la suma lógica, se evalúa D’: 1’ = 0. Por último la suma lógica, OR, entre 0 + 0 = 0.