Curso de Semiconductores reunión 5 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

Cálculo de la densidad de estados Ec Ev Cuántos estados por unidad de energía por unidad de volumen habrán en cada banda ? Si tenemos el diagrama de bandas de energía, necesitamos saber cuantos estados disponibles existen en cada banda y si esos estados están ocupados por electrones o huecos: Para calcular la densidad de estados usaremos el modelo del electrón libre y se considerará el efecto del cristal por medio de la masa efectiva.

Modelo del electrón libre Consideraremos el modelo del electrón libre en una caja de potencial Tridimensional (sometido al principio de exclusión de Pauli): Caso unidimensional: E W=∞ W=0 x=0 x=a El electrón esta confinado en una caja de potencial

Modelo del electrón libre Si consideraremos el modelo del electrón libre en una caja de Potencial Tridimensional (sometido al principio de exclusión de Pauli): La energía sería:

Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n Primer estado permitido con E 111 R2R2 Si consideramos puntos discretos, el volumen en este sistema nos establecería una cota superior sobre el número de puntos Disponibles. Cada punto es un estado disponible.

Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n El volumen establecido en el primer octante: R como Luego:

Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n Considerando el volumen igual al número de Estados N: R como Luego: Considerando que en cada punto existen dos estados debido al Spin:

Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n2n R N es una cota superior para el número de estados que tienen energía menor o igual a E. La densidad de estados por unidad de energía (g´) estará dado por:

Cálculo de la densidad de estados La densidad de estados por unidad de energía (g´) está dado por: Si dividimos por el volumen (a 3 ) tendremos la densidad de estados por unidad de energía por unidad de volumen (g): Este modelo lo utilizaremos para estimar la densidad de estados en la banda de conducción y de valencia. Para tener en cuenta el efecto de la red cristalina se sustituirá m por m*

Cálculo de la densidad de estados La densidad de estados por unidad de energía por unidad de volumen considerando que los electrones tienen masa efectiva m*: NOTA: Este modelo de densidad de estados se utiliza para modelar los Estados en la banda de valencia y de la banda de conducción en los semiconductores. N(E) Observe: E -> 0 entonces N(E) -> 0

Cálculo de la densidad de estados Modelo de la densidad de estados en la banda de conducción: se utiliza el modelo Del electrón libre considerando que su masa en el semiconductor es m*. La energía mínima es E C para los electrones que están en la banda de conducción: ECEC EVEV Se debe contabilizar el número de estados de acuerdo a la energía Usando el modelo del electrón libre (modificado): ECEC ECEC EVEV Observe: Si E -> E C, (E-E C ) -> 0 Luego N(E) -> 0 Válido para E ≥ E C N(E)

Cálculo de la densidad de estados Para el caso de la banda de valencia, los portadores son los hueco que tienen una masa efectiva m p * : Se debe contabilizar el número de estados de acuerdo a la energía Usando el mismos modelo pero considerando los huecos: ECEC Observe: Si E -> E V, (E V -E) -> 0 Luego N(E) -> 0 ECEC EVEV ECEC EVEV Válido para E ≤ E V N(E) E

Modelo para calcular la densidad de estados en la banda de conducción: Semiconductores intrínsecos N(E)

Función de distribución de Fermi-Dirac La función establece la probabilidad que un estado con energía E esté ocupado si la temperatura es T E F es la energía de Fermi K es la constante de Boltzmann T temperatura absoluta

Función de distribución de Fermi-Dirac Energía de Fermi

Cálculo de la densidad de huecos y electrones Para hacer más fáciles los cálculos se utiliza la aproximación de Boltzmann: La probabilidad que un estado esté ocupado: El error cometido al usar esta función con relación a la distribución de Fermi-Dirac es menor de 5% si E-E F  3KT La probabilidad que esté desocupado: El error cometido al usar esta función con relación a la distribución de Fermi-Dirac es menor de 5% si E F -E  3KT

Cálculo de la densidad de huecos y electrones Para calcular la densidad de portadores se requiere conocer la densidad de estados disponible y la probabilidad que estos estados estén ocupados: Densidad de estados para electrones Probabilidad que los estados estén ocupados Densidad de estados para huecos Probabilidad que los estados estén desocupados

Cálculo de la densidad de huecos y electrones Cálculo de la densidad de electrones en la banda de conducción y de huecos y la banda de valencia (usando la aproximación de Boltzmann):

Cálculo de la densidad de huecos y electrones Resolviendo las integrales anteriores: Densidad efectiva de Estados de conducción Densidad efectiva de estados de valencia Semic. N C (cm -3 ) N V (cm -3 ) Eg(eV) Si 3.22x x Ge 1.03x x GaAs 4.21x x Se asume que T=300K:

Concentración intrínseca (n i ) Densidad intrínseca (cm -3 ) En un semiconductor intrínseco el número de electrones es igual al número de huecos: n = p

Nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco El nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco está localizado muy cerca de la energía de la mitad del “gap” de energía Haciendo n=p se obtiene: ECEC EVEV E i =E F mitad E g /2 Silicio

Resumen de las ecuaciones útiles para semiconductores intrínsecos Cálculo de la densidad de huecos y electrones: Se asume que E c – E F > 3 KT o E F - E v > 3KT Con:

Resumen de las ecuaciones útiles para semiconductores intrínsecos Densidad intrínseca: constante

semiconductor extrínsecos Para efectos de modificar ciertas características de un semiconductor se introducen impurezas: átomos diferentes a los que constituyen la red cristalina. Si las impurezas si se introducen en una cantidad moderada modifican propiedades tales como: -El número de portadores: electrones huecos disponibles. -La conductividad del semiconductor ( se estudiará en el próximo capítulo) - La movilidad de los portadores (se estudiará en el próximo capítulo)

Introducción Compuesto III-V puros Tabla periódica Fuente: “Fundamentos de semiconductores”

semiconductores extrínsecos Se adicionan impurezas: átomos de la columna III (aceptadores) o de la columna V (donadores) de la tabla periódica Se adicionan átomos de fósforo (P) de la columna V (donadores)

semiconductores extrínsecos Impurezas donadoras: modifican la cantidad (aumentan) de electrones Energía de ionización de los donadores más usados (silicio): Fósforo eV Arsénico eV Antimonio eV

semiconductores extrínsecos Se adicionan átomos de boro (B) de la columna III (aceptadores)

semiconductores extrínsecos Impurezas aceptadoras: modifican la cantidad (aumentan) de huecos Energía de ionización de los aceptadores más usados (en silicio): Boro eV Aluminio eV Galio eV

semiconductores extrínsecos Densidad de portadores (n 0 es la densidad de electrones y p 0 la den- sidad de huecos): Condición de neutralidad de carga: Densidad de aceptadores densidad de donadores

semiconductores extrínsecos Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas: Asumiendo que N D > N A la solución será:

semiconductores extrínsecos Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas: Asumiendo que N A > N D la solución será:

semiconductores extrínsecos Caso especial: cuando se dopa con donadores N D únicamente (N A =0) Siendo N D >> n i Cuando se dopa con aceptadores únicamente con N A >> n i (con N D =0) y y

semiconductores extrínsecos Caso especial: cuando se dopa con donadores N D únicamente (N A =0) Siendo N D >> n i T (K) Zona extrínseca Zona intrínseca n/N D Ejercicio: realizar la gráfica: ln(n) Vs. (1/T).

semiconductores extrínsecos Cuando se dopa con aceptadores únicamente con N A >> n i (con N D =0) y y Cuando se dopa con donadores únicamente con N D >> n i (con N A =0)

semiconductores extrínsecos Otras expresiones para el cálculo de la densidad de portadores: Ejercicio: Demostrar las expresiones anteriores. Ver capitulo 3 del libro de Kanann Kano

Semiconductores extrínsecos Nivel de Fermi de los semiconductores extrínsecos Semiconductor tipo N (únicamente donadores) Semiconductor tipo P (únicamente aceptadores): ECEC EVEV EiEi E g /2 EFEF ECEC EVEV EiEi EFEF