Lugares Geométricos

LUGARES GEOMÉTRICOS Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumple una determinada propiedad. La solución de un problema de lugares geométricos es una ecuación, la ecuación de todos los puntos que cumplen la citada propiedad

Lugar geométrico Es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Algunas de estas se producen o se observan en: Plano Espacio

Ejemplo A Determinar la ubicación de los puntos que se ubican a una misma distancia de una recta dada. ¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones? Ejemplo B Determinar el conjunto de puntos que tienen una distancia dada a un punto determinado. ¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?

Distancia entre dos puntos Hallar la distancia de los siguientes puntos: A(3,2) y B(2,2) D(-3,6) y E(0,-4) A(1,1) y B(-3,-3) M(5,0) y N(-8,0) K(2,-1) y L(2,-6) E(-4,-1) y F(2,3)

Ecuación de la recta

La Simetral o Mediatriz de un segmento Dado un punto cualquiera P(x, y) de la simetral se verifica que d(P,A) =d(P,B)

Trazar simetrales en los triangulos

La mediatriz de un segmento como lugar geométrico. Por tanto, la mediatriz de un segmento podemos definirla de la siguiente manera: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Ejemplo Halla la ecuación de la mediatriz del segmento A(-3, 4) y B(1, 0) Cualquier punto P(x, y) verifica que d(P,A) = d(P,B) , por tanto, La ecuación es: x - y + 3 = 0

Bisectriz de un ángulo. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

Cualquier punto P(x, y) equidista de los lados del ángulo, es decir, la distancia de P a la semirrecta OA es la misma que la distancia de P a la semirrecta OB Si la ecuación de la recta OA es Ax + By+ C =0 , la distancia será: Si la ecuación de la recta OB es A’x + B’y + ´C’= 0 , la otra distancia será:

Igualando ambas distancias, Quitando los valores absolutos se obtienes las ecuaciones de las dos bisectrices:

Ejemplo Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas r: x + 2y – 1 = 0 y S: 2x – y + 5 = 0

Aplicando las fórmulas establecidas, Y simplificando, x - 3y + 6 = 0 (primera bisectriz) 3x + y + 4 = 0 (segunda bisectriz) Las dos bisectrices son perpendiculares.

Ecuación de la circunferencia. Una circunferencia de centro C(a,b) y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es r

Aplicando la fórmula de la distancia entre C(a,b) y un punto cualquiera de la circunferencia P(x, y), resulta:

Importante En el caso de una circunferencia que tenga su centro en el origen de coordenadas, su ecuación será:

CIRCUNFERENCIA Como despejamos y el centro C(a,b) queda y el radio

Determinación de una circunferencia. Una circunferencia queda determinada cuando se conoce: Tres puntos de la misma. El centro y el radio. Un punto y el centro El centro y una recta tangente.

CIRCUNFERENCIA Ejemplo 1: escribe la ecuación de la circunferencia de centro (3,4) y radio 2.

CIRCUNFERENCIA Ejemplo 2: dada la ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 hallar el centro y el radio.

Ejemplo Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A(0,0) ,B(0,5) y C(3,2)

Ejemplo Ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de extremos los puntos A(2,3) y B(-4, -9).

Ejemplo Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(1,5) sabiendo que pasa por el punto P(-3,2)