Inecuaciones José Otero Bargos

1. Desigualdades. Propiedades 2. Intervalos 3. Inecuaciones (A) Inecuaciones de primer grado con una incógnita (B) Inecuaciones de segundo grado con una incógnita (C) Inec. reducibles a las de 1º grado con una incógnita (D) Inecuaciones lineales con dos incógnitas (E) Sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas Inecuaciones. 4º ESO

1. Desigualdades Propiedades En Matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos. a > b : Se lee "a mayor que b” a < b : Se lee "a menor que b” a ≥ b : Se lee "a mayor o igual que b” a ≤ b : Se lee "a menor o igual que b” Propiedades 1. Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad. Ejemplos: (a) Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad, a ≤ b resulta: a + m ≤ b + m Sumando 2 (b) 2 < 5 2 + 2 < 5 + 2 , 4 < 7 Restando 3 (c) 8 > 5 8 - 3 > 5 - 3 , 5 > 2 Inecuaciones. 4º ESO

2. Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Ejemplos: Multiplicando por 2 (a) 2 < 5 2 · 2 < 5 · 2 , 4 < 10 Dividiendo por 3 (b) 15 > 9 15 : 3 > 9 : 3 , 5 > 3 3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: (a) 2 < 5 2 · (-2) > 5 · (-2) , - 4 > - 10 Multiplicando por -2 Dividiendo por -3 (b) 15 > 9 15 : (-3) < 9 : (-3) , - 5 < - 3 Inecuaciones. 4º ESO

2. Intervalos Tipos de intevalos (1) Intervalo abierto Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica. Tipos de intevalos (1) Intervalo abierto (a,b) = { x Є IR / a < x < b } Incluye a todos los nº reales comprendidos entre a y b, sin incluir ni a “a”, ni a “b”. a b -∞ +∞ Gráficamente: (2) Intervalo cerrado [a,b] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b } Incluye a todos los nº reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” y a “b”. a b -∞ +∞ Gráficamente: Inecuaciones. 4º ESO

(3) Intervalo semiabierto o semicerrado I. Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha (a,b] = { x Є IR / a < x ≤ b } Incluye a todos los nº reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a “a” , pero sí a “b”. b a -∞ +∞ Gráficamente: II. Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda [a,b) = { x Є IR / a ≤ x < b } Incluye a todos los nº reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” , pero no a “b”. b a -∞ +∞ Gráficamente: Inecuaciones. 4º ESO

(4) Semirrectas o intervalos indeterminados I. [a,+∞) = { x Є IR / x ≥ a } Incluye a todos los nº reales mayores o iguales que “a”. a -∞ +∞ II. (a,+∞) = { x Є IR / x > a } Incluye a todos los nº reales mayores que “a”. a -∞ +∞ III. (-∞,b] = { x Є IR / x ≤ b } Incluye a todos los nº reales menores o iguales que “b”. b -∞ +∞ Inecuaciones. 4º ESO

IV. (-∞,b) = { x Є IR / x < b } Incluye a todos los nº reales menores que “b”. b -∞ +∞ V. (-∞,+∞) = IR Incluye a todos los nº reales, es decir, coincide con la recta real. +∞ -∞ IR El infinito nunca se incluye dentro de un intervalo y además nunca se escribe en la desigualdad. Inecuaciones. 4º ESO

Ejemplos: Inecuaciones. 4º ESO Intervalo Desigualdad Representación gráfica [-3,4] -3 ≤ x ≤ 4 [-5,8) -5 ≤ x < 8 (0,6] 0 < x ≤ 6 (-1,7) -1 < x < 7 (-∞,8) x < 8 (-∞,6] x ≤ 6 (-1,+∞) x > -1 [-3,+∞) x ≥ -3 Inecuaciones. 4º ESO

3. Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad formada por dos expresiones algebraicas separadas por los signos <, >, ≤ o ≥. La solución de una inecuación está formada por los valores que hacen cierta la desigualdad. Resolver una inecuación consiste en calcular todas sus soluciones. Dos inecuaciones son equivalentes cuando las dos tienen las mismas soluciones. Ejemplos: (1) 2x - 6 > 0 Inecuación de primer grado con una incógnita (2) 2x2 – 1 < x Inecuación de segundo grado con una incógnita (3) 2x +5 > y+3 Inecuación con dos incógnitas (4) 2x +5 = x+3 No es una inecuación Inecuaciones. 4º ESO

Tipos de inecuaciones (A) Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son inecuaciones que se pueden transformar en otras del tipo ax + b < 0 (<, >, ≤, ≥), a  0. Ejemplos: x 2 x – 2 5 ≥ 1 – (1) 5x – 10 2 2x – 4 10 ≥ 2x – 4 ≥ 5x – 10 Solución: (-∞,2] 2x – 5x ≥ 4 – 10 – 3x ≥ – 6 – 6 x ≤ – 3 x ≤ 2 Inecuaciones. 4º ESO

IR IR  Inecuaciones. 4º ESO (2) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es VERDADERA. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier valor real que tome x. 7x – 7x ≥ 8 – 12 0 ≥ – 4 Solución: IR -∞ IR +∞ (3) 6x + 11 2 < 3x En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA. 6x + 11 < 6x Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación. 6x – 6x < -11 El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío: 0 < -11 Solución:  Inecuaciones. 4º ESO

(B) Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Son inecuaciones que se pueden transformar en otras del tipo ax2 + bx + c < 0 (<, >, ≤, ≥), a  0. INECUACIÓN CUADRÁTICA Previa Factorización Unión de intervalos señalados con signo positivos Intervalo con signo negativo a b a b Solución: (-∞, a] U [b, + ∞) Solución: [a, b] Inecuaciones. 4º ESO

Ejemplos: Inecuaciones. 4º ESO (1) x2 – 5x + 6 ≥ 0 (x – 2)(x – 3) ≥ 0 Solución: (-∞,2] U [3,+ ∞) (2) x2 – x – 2 < 0 (x + 1)(x – 2) < 0 x + 1 x – 2 (x+1)(x–2) Solución: (-1,2) Inecuaciones. 4º ESO

(C) Inec. reducibles a las de 1º grado con una incógnita Son inecuaciones que se presentan o pueden transformarse en un producto o cociente de factores de primer grado. Ejemplo: x – 4 Debemos eliminar como posibles soluciones los valores de la incógnita que anulen el denominador. ≤ 0 (–x – 2)·x x – 4 – x – 2 x x – 4 (–x – 2)·x Solución: (-2,0)  [4,+) Inecuaciones. 4º ESO

(D) Inecuaciones lineales con dos incógnitas Son inecuaciones que tienen como expresiones algebraicas polinomios con dos incógnitas, es decir, del tipo ax + by < c (<, >, , ), a0 , b0 . Sus soluciones son, gráficamente, porciones del plano. Ejemplo: x + y ≤ 6 La recta x + y – 6 = 0 divide el plano en dos mitades. En cada una de ellas, la expresión x + y – 6 toma un signo. ¿En cuál es negativo? Para averiguarlo, tomamos un punto cualquiera, por ejemplo, el (0,0). En él, 0 + 0 – 6 ≤ 0, se cumple la desigualdad en el sentido buscado. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos de la región señalada n rojo, incluida la recta. Inecuaciones. 4º ESO

{ (E) Sistemas de inecuaciones Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones del cual se quiere calcular la solución común. Cada inecuación del sistema se resuelve por separado y la solución del sistema es la intersección de sus soluciones. Sistemas de inecuaciones con una incógnita Ejemplo: { 2x + 3 ≤ 5 Resolvemos cada inecuación en forma independiente: -x - 2 ≥ -4 2x + 3 ≤ 5 ; 2x ≤ 5 – 3 ; x ≤ 1, o bien, x Є (-∞, 1] -x - 2 ≥ -4 ; x + 2 ≤ 4 ; x ≤ 2 , o bien, x Є (-∞, 2] La solución del sistema será la intersección de los dos intervalos : (-∞, 1]  (- ∞, 2] Solución: (-∞, 1] , o bien, x ≤ 1

{ Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas Como el conjunto de soluciones de una inecuación de primer grado con dos incógnitas es un semiplano, el conjunto de soluciones de un sistema de inecuaciones de este tipo es la intersección de varios semiplanos, es decir, un recinto poligonal o bien un recinto abierto. Es posible que estos semiplanos no tengan ningún punto en común. En este caso, el sistema no tiene solución. Ejemplo: { x + y ≥ 9 Resolvemos cada inecuación por separado. -2x + 3y ≤ 12 La solución del sistema es el recinto intersección de ambas soluciones. Solución del sistema

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