Más que un polígono de tres lados... El TRIANGULO… Más que un polígono de tres lados...

Postulado de existencia de un triángulo, llamado también desigualdad triangular Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.

1.MEDIATRIZ: Rayo perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triangulo CIRCUNCENTRO: Intersección de las tres matrices centro de la circunferencia circunscrita

2. MEDIANA.- línea que une al vértice con el punto medio de su lado opuesto  BARICENTRO: intersección de las tres medidas es el centro de la gravedad del triangulo.

3.    BISECTRIZ .-segmento que divide el ángulo en dos partes iguales INCENTRO: intersección de las tres bisectrices que es el centro de la circunferencia inscrita

4.    ALTURA.- Es la perpendicular que une el vertice con el lado opuesto ORTOCENTRO: punto donde se intersecan las tres alturas, puede quedar dentro o fuera del triangulo.

Congruencias y semejanzas de figuras planas

Congruencia Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos de Congruencia . ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes 13

Semejanza Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, y sus lados son correspondientes (homólogos) son proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTES “Toda paralela a un lado de un triangulo forma con los otros dos lados un triangulo semejante al primero.

Primer criterio AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 65 10 78 12 Representemos el ejercicio 8 10 12 78 65 52 52 8 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

La razón de semejanza es 3 Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. 3 4 5 x y z = 9 X 3 Y 4 Z 5 Representamos la situación 12 = =15 Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: X 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 = 3 Y 4 =12 Escala de ampliación Y = 4 · 3 =3 La razón de semejanza es 3 Z 5 Z = 5 · 3 = 15 =3

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 50 30 40 12 16 20 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 12 40 16 50 20 = =

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo 4,5m x 3m 2m sombra poste Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto X = 3 • 4,5 2 = 6,75m = 3 x 2 4,5 De donde Formamos la proporción

Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC Demostración Afirmaciones Razones Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

Distancias o alturas aplicando semejanza Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.