Matriz Origen - Destino de viajes Modelación de la Distribución de Viajes Tenemos: {O1 ... On} --> T {D1 ... Dn} --> T Elementos a considerar: Restricciones Costos Matriz observada O1 ¿Vij? ... Matriz Origen - Destino de viajes On D1 ... Dn T

Modelos de distribución espacial de viajes Modelo de factor de crecimiento Modelo Biproporcional o de Furness Modelo Gravitacional Modelo de Maximización de Entropía

Fenómeno bajo estudio

Matriz OD Santiago (Punta Mañana, pax/hr) Norte Oeste Este Centro Sur Sur-Este TOTAL Oi 124 907 10 206 32 005 45 889 6 206 4 028 223 241 17 919 155 788 43 476 94 357 11 893 6 191 329 624 9 735 8 157 227 979 75 133 8 847 16 057 345 908 5 090 5 995 15 953 40 754 6 306 3 591 77 689 15 766 16 434 53 336 99 277 229 455 20 881 435 149 11 190 8 406 81 824 60 977 26 158 143 222 331 777 TOTAL Dj 184 607 204 986 454 573 416 387 288 865 193 970 1 743 388 ¿Par origen-destino donde se observa más viajes? ¿Par origen-destino donde se observa más viajes interzonales?

Problema ¿Tij? . . .

Ejemplo 9 ? ? ? ? 9 10 8

Algunas soluciones 9 4 5 6 3 9 10 8 9 5 4 5 4 9 10 8

Problema . . . No tiene solución única! ¿Tij? N2 incógnitas 2·N-1 restricciones L.I. . . No tiene solución única!

Modelo de Factor de Crecimiento Total de viajes de la matriz Tij es conocida Total de viajes generados Oi es conocido

Modelo biproporcional (Furness) Total de viajes atraídos Dj es conocido Total de viajes generados Oi es conocido

Modelo biproporcional (Furness)

Modelo biproporcional (Furness) punto fijo

Modelo biproporcional (Furness)

Aplicación de métodos de factor de crecimiento Factor de crecimiento uniforme T=2.000.000  a=1,14719

Aplicación de métodos de factor de crecimiento

Aplicación de métodos de factor de crecimiento Furness Aplicación… ver excel

Modelo gravitacional Modelo Total de viajes generados Oi es conocido Total de viajes atraídos Dj es conocido

Modelo gravitacional Modelo

Tij=Ai·Oi·Bj·Dj ·exp(-bcij) Modelo gravitacional Tij=Ai·Oi·Bj·Dj ·exp(-bcij) cij : costo generalizado de transporte entre i y j. Valor único para el par ij, debe tomar en cuenta todos los modos disponibles. cij = a1tviajeij + a2tcaminataij + a3tesperaij + a4ttrasbordoij + a5tarifaij + a6costo terminal (estacionamiento)j + penalidad modal Promedio, mínimo, máximo, ? Williams 1977

Análisis de los modelos Factores que causan o afectan la distribución espacial de viajes: ¿Son pertinentes o razonables los factores considerados? ¿Faltan factores relevantes para representar cambios en el sistema de transporte? Supuestos utilizados en el modelo: ¿Cuáles son? ¿Son razonables y realistas? Información utilizada por el modelo: ¿Cómo se obtiene? ¿Con qué error?

Análisis de los modelos Predicción con el modelo: ¿Cómo se predice con el modelo? ¿Entrega predicciones razonables ante variables explicativas en valores posibles?

Aspectos clave Capacidad para representar cambios en la oferta y la demanda del sistema de transporte y en el uso del suelo Horizonte de validez: corto y largo plazo Requerimiento de datos y de calidad de ellos Tratamiento de los viajes nulos

Análisis de los modelos Modelos de factor de crecimiento y de Furness: No cambia la estructura de T0, salvo en factores asociados a sus restricciones No dependen o dependen en forma indirecta del uso de suelo Mantiene viajes nulos en pares OD de T0 con viajes nulos No reflejan cambios en los costos generalizados Modelos gravitacionales basados en distancias: Usa costos constantes en el tiempo, insensibles a cambios en el sistema de transporte Todos los modelos Dependen de la bondad de los modelos de generación y atracción

Análisis de los modelos Todos los modelos actualizan sus parámetros

Otro paradigma de modelación: maximización de la entropía MME de variables totales (MMET) Deducción del modelo: Enfoque combinatorial Aplicación a modelo de distribución de viajes Métodos numéricos para calibrar estos modelos y predecir con ellos MME de variables de probabilidad (MMEP) Deducción del modelo: Enfoque del valor de la información Equivalencia de MMET y MMEP Equivalencia de MMEP y Modelo Logit Multinomial

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Conocimiento del estado del sistema Macroestado: Condiciones sobre mesoestado Ej: Conocerlo según sus categorías Sistema: Conjunto de viajes SÍ Categoría: Par OD Mesoestado: Número de elementos por categoría (Tij) ¿? Microestado: Categoría a la cual pertenece el elemento (Par OD del viaje) Elemento: viaje NO

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Cómo nace un mesoestado? ¿De cuántas formas posibles se puede formar un mesoestado? Wilson (1971) demostró que: T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 “Cada elemento (viaje) tiene igual probabilidad de pertenecer a cada una de las categorías (Par OD)” “Todos los microestados son equiprobables”

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Cómo selecciono entre dos sistemas con el mismo macroestado? T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 T1 = 1 T2 = 4 T3 = 5

Modelo de maximización de la entropía (MMET) “Es más probable que ocurra aquel mesoestado con un número mayor de formas posibles de generarse” T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 T1 = 1 T2 = 4 T3 = 5

Modelo de maximización de la entropía (MMET) El número de formas posibles de generar un mesoestado (Ti)i, bajo el supuesto de microestados equiprobables es: El objetivo es encontrar el mesoestado (Ti)i que maximiza W

Modelo de maximización de la entropía (MMET) equivale a Aproximación de Stirling

Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Se formula el siguiente problema de Maximización: equivale a Entropía Macroestado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Características de la Entropía: La Entropía es una función no lineal cóncava:

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Resolución del problema anterior

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Resolución del problema anterior ¡Constante!

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Y si se considera más información en el macroestado? Macroestado Es un problema de optimización con restricciones de igualdad El número de variables de estado (Ti)i habitualmente es muy grande La función objetivo es no lineal y cóncava Las restricciones son lineales Si las restricciones son factibles, existe solución única

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Sistema de ecuaciones no lineales que determinan (k)k

Modelo de maximización de la entropía (MMET) “el criterio de maximizar la entropía define mesoestados distribuidos uniformemente a menos que los macroestados se lo impidan” ignorancia conocimiento

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Observaciones 1.- Leve cambio en la Entropía

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Observaciones 2.- Si algunas restricciones implican la restricción equivale a donde (k)k es solución del sistema de ecuaciones no lineales (*) con lo cual

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelos de distribución espacial de viajes Modelo de entropía simplemente acotado en el origen Modelo de entropía simplemente acotado en el destino Modelo de entropía doblemente acotado

Depende de todos los destinos tiene que ver con el beneficio de visitar y con los costos ponderados por b Depende de todos los orígenes tiene que ver con la posibilidad de ser visitado y los costos ponderados por b cij : costo generalizado de transporte entre i y j. Valor único para el par ij, debe tomar en cuenta todos los modos disponibles. Recordar discusión Modelo gravitacional Esperanza del mínimo costo

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado equivale a

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado entonces

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado (a,b) = F(,a,b) Ecuación vectorial no lineal de Punto Fijo en a y b para un  dado g(,a,b) = 0 Ecuación unidimensional no lineal en  para un a y b dado La función g es decreciente en  e interesa encontrar una raíz de ella para un a y b dado

Incorporación de información adicional En general esto se hace mediante restricciones, excepto para: Matriz a priori Se modifica la función objetivo  Discutir

Incorporación de información adicional Conteos de flujo A través de los pija  ver caso general con W” y conteos de flujo Placa parcial Estimaciones de algunas celdas

Calibración del Modelo de maximización de la entropía (MMET) Calibración: Buscar los parámetros que aseguran que las predicciones se parecen a la matriz observada. Validación: chequear que las predicciones son buenas en un caso controlado. Ai, Bj se estiman como parte del proceso de balanceo biproporcional (Furness) b debe ser calibrado de forma tal que la distribución de longitudes de viaje se reproduce tan cercanamente como sea posible  b*

Calibración del Modelo de maximización de la entropía Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado: Solución mediante el método de Hyman Conocido T(b)

Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969) m=0 b0=1/c* Calcular la matriz predicha con ese b  bm=b0 c0 /c* m=m+1 calcular la matriz con bm-1 Cm-1 ? C*  si son parecidos, parar Si no, ir al paso 4 Mejorar estimación de b

Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969) 4. Mejorar estimación de b 5. Repetir hasta que modelado observado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Métodos de calibración: Método de Newton Problema: Encontrar que resuelva la ecuación: donde Se resuelve esta ecuación, reemplazando a la función f por una aproximación lineal de ella en una vecindad de un punto x(0): con lo cual:

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado tiene por solución Podemos estimar con la información observada de ¿Cómo estimar para un corte temporal t futuro?

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Los modelos de generación y atracción permiten estimar y con ello calcular Los modelos de utilidad permiten estimar No podemos calcular t cuando Ct no lo podemos estimar

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Cuando Ct no es posible estimar se propone la siguiente solución: Los parámetros se determinan imponiendo las restricciones: se calculan fácilmente por Punto Fijo

Entropía como probabilidad conocimiento ignorancia “el criterio de maximizar la entropía define una distribución de probabilidad uniforme a menos que restricciones se lo impidan”. “Si las restricciones son lineales, entonces la distribución de probabilidad es Logit Multinomial”

EQUIVALENCIA ENTRE MMET Y MMEP Si se introduce el cambio de variable: el problema es equivalente a:

Generalización de resultado publicado: Discrete Choice Theory, Information Theory and The Multinomial Logit and Gravity Models Alex Anas Transportation Research B Vol 17B, N°1, pp. 13-23. 1981

EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS LOGIT MULTINOMIAL Y EL DE MAXIM EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS LOGIT MULTINOMIAL Y EL DE MAXIM. DE LA ENTROPÍA MMEP PMVLogit donde PME

Consideraciones prácticas Matrices incompletas Zonas externas Viajes E-E E-I (modelar exógenamente) Viajes intrazonales ¿costo? ¿asignación a la red? Segmentación por motivo Trabajo  doblemente acotado Otros  ? b costo igual para todos los motivos?

Consideraciones prácticas Segmentación por tipo de usuario Generación-atracción / origen/destino punta mañana/fuera de punta/punta tarde Incorporación de factores kij para tratar pares específicos Errores

Santiago en Seis Grandes Areas Hogares : 258.805 Personas: 775.208 Viajes : 2.444.470 Ingreso por hogar : 607 (US$/month) Autos/1000hab : 260 Hogares: 201.466 Personas: 789.451 Viajes: 2.360.091 Ingreso por hogar : 114 (US$/mes) Autos/1000hab: 43 NORTE ESTE Hogares : 78.936 Personas: 206.044 Viajes : 684.368 Ingreso por hogar : 190 (US$/month) Autos/1000hab : 98 Hogares : 314.262 Personas: 1.218.158 Viajes : 3.664.885 Ingreso por hogar : 120 (US$/month) Autos/1000hab : 53 CENTRO OESTE Hogares : 334.586 Personas: 1.345.347 Viajes : 3.730.238 Ingreso por hogar : 109 (US$/month) Autos/1000hab : 46 SUR-ESTE Hogares : 325.883 Personas: 1.210.861 Viajes : 3.596.990 Ingreso por hogar : 147 (US$/month) Autos/1000hab : 71 SUR