INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Clase 3 -4 Miguel Mellado E. 28/08/2017

Clasificación de Modelos Modelos de Programación Lineal Clasificación de Modelos Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son: Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo. Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo. Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas maneras. Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible, construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.). Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones). Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

Clasificación de Modelos Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas. Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua. Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es única y siempre la misma. Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. Las clasificaciones no son excluyentes, de forma que pueden haber por ejemplo: modelos matemáticos – analíticos – discretos - estocásticos

Modelos de Programación Lineal La programación lineal, se ocupa de sistemas cuyo comportamiento es determinístico y en el cual las relaciones entre la variables y función objetivo, se puede establecer a través de expresiones matemáticas lineales. Contiene tres elementos: Función Objetivo: medida para determinar el desempeño del sistema para alcanzar su objetivo (lo que se desea mejorar). Variables: las variables corresponden a las incógnitas o decisiones que se deben resolver para dar solución al modelo, son aquellos elementos que contribuyen para alcanzar el objetivo y que se posibles de contralar o establecer al interior del modelo. Parámetros: son aquellos aspectos que limitan la gama de soluciones y que no son determinados al interior del modelo, ellos vienen dados por condiciones externas.

Modelos de Programación Lineal sistema Producción Resultado Costo, Ingresos, Eficiencia, etc. Función Objetivo: Cual de los desempeños del sistema se va a medir y como de desea mejorar. Costos Minimizar Costos Ingresos Maximizar Ingresos Precios de productos y/o insumos Cantidad de producción e insumos Variables y parámetros: De que dependen los desempeños del sistema que se va a medir. Volumen de producción Los determina la empresa o son fijados externamente ?? Si se fijan externamente al sistema son parámetros Si se determinan internamente son variables

Actividad 1.2: MEZCLA DE PRODUCTOS Una empresa de prefabricados de hormigón produce solerillas y pastelones. El proceso de fabricación considera, verter mezcla de hormigón a moldes, microvibrado, fraguado y empaque. Cada solerilla requiere 4,5 litros de mezcla, 2 minuto de tiempo en el microvibrado, 0,25 m2 de cancha para fraguado y un minuto de tiempo en empaque. Cada pastelón requiere 7,5 litros de mezcla, 1 minuto de tiempo en el microvibrado, 0,35 m2 de cancha para fraguado. Existe un total de 9 m3 de mezcla de hormigón, 1400 minutos en microvibrado y 900 m2 de cancha de fragüe cada día. Las solerillas y pastelones contribuyen con un margen neto de 300 y 500 pesos cada una. La empresa desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.

Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar Paso 2: Identificar las variables de decisión que desea determinar Paso 3: Identificar las restricciones del modelo Paso 4: Construcción del modelo matemático

Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar: Normalmente se obtiene de la verbalización de los objetivos de la empresa, en este caso el enunciado indica: La empresa desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total En ella se indica maximizar utilidad de la empresa, en que unidades (US$, cl$, UF, etc.), cual es el intervalo de tiempo, anual, mensual, diaria, etc. En este caso, dado que los precios están dados en pesos y que los datos de disponibilidad de recursos son por día. El objetivo será: Maximizar las utilidades de la empresa en pesos/día

Utilidad = Margen x * X + Margen y * Y Solución: Paso 2: Identificar las variables de decisión, para estos efectos la pregunta pertinente es: ¿de que depende la utilidad o ganancia?, los antecedentes indican que de la cantidad de productos a elaborar Cantidad de solerillas a fabricar por día {unidades./día} variable X Cantidad de pastelones a fabricar por día {unidades./día} variable Y Como contribuyen las variables a la función objetivo: Utilidad = Ingresos – Costos = Margen*Cantidad Utilidad = Margen x * X + Margen y * Y

Solución: Paso 3: Identificar las restricciones del modelo, aspectos que limita el comportamiento de las variables de decisión. En este caso las limitantes son el hormigón disponible, tiempo de microvibrado y superficie de cancha para fraguado, las cuales son: R1) litros de hormigón disponibles por día 9000 litros/día. R2) Tiempo disponible en microvibrado por día de 1400 min/día. R3) Metros cuadrados de cancha de fragüe por día de 900 m2/día R4) La producción no puede ser Negativa.

Paso 4: Construcción del modelo matemático Función Objetivo MAX { U = 300 * X + 500 * Y } Sujeto a las restricciones: R1) 4,5 * X + 7,5 * Y  9000 R2) 2 * X + Y  1400 R3) 0,25 * X + 0,35 * Y  900 R4) X , Y  0

Programación Lineal Formulación y Solución Gráfica Clase 4 Programación Lineal Formulación y Solución Gráfica Un modelo es una simplificación de la realidad que se intenta que sea lo suficientemente exacta como para poder extraer de él conclusiones útiles, para las soluciones del tipo gráfica y está limitado a dos variables. En particular la solución gráfica o método grafico se limita a los modelos cuantitativos, en los que la realidad es modelada mediante dos variables de decisión.

En los modelos cuantitativos para programación lineal intervienen: Variables de decisión, cuyos valores numéricos finales proporcionan la solución. La función objetivo, que es una cantidad que se desea maximizar (beneficio, rendimiento, etc.) o minimizar (coste, tiempo,...). En el caso de minimizar costes, hay que tener en cuenta que los costos fijos no se incluyen, ya que no dependen de la decisión que se tome. Las relaciones de las variables son lineales (sumas de variables ponderadas) Un conjunto de restricciones, las cuales definen qué soluciones son posibles o limitan los valores de las variables (soluciones factibles).

Para la formulación se recomienda: Expresar el objetivo verbalmente. Identificar verbalmente las variables de decisión. Expresar cada restricción verbalmente, poniendo especial cuidado en distinguir entre: Requerimientos () Limitaciones () Exigencias de igualdad (=). Expresar las variables de decisión mediante símbolos. Expresar las restricciones mediante símbolos, es decir, en términos de las variables de decisión. Expresar la función objetivo simbólicamente. Comprobar la coherencia de las unidades en las restricciones y la función objetivo.

Ejemplo: Una empresa dedicada a la fabricación de juguetes de madera produce dos tipos de juguetes: coches y trenes Los coches se venden a 27 M$ y usan por cada coche 10 M$ de materiales y 14 M$ de mano de obra Los trenes se venden a 21 M$, usan por cada tren 9 M$ de material y M$ 10 de mano de obra . La producción de ambos juguetes necesita dos tipos de trabajo: carpintería y acabado Coche: 2 horas acabado, 1 hora carpintería Tren: 1 hora acabado, 1 hora carpintería La empresa dispone de un máximo de 80 horas semanales de carpintería y 100 horas semanales de acabado. La demanda de trenes es ilimitada, pero la de coches está limitada a 40 unidades a la semana. La empresa desea maximizar la utilidad neta.

Solución: Planteamiento verbal Objetivo maximizar las ganancias semanales de la producción de juguetes Variables de decisión: nº de coches y trenes producidos cada semana Cada semana no se pueden usar más de 100 horas de acabado Cada semana no se pueden usar más de 80 horas de carpintería La demanda de coches está limitada La producción no puede ser negativa Variables de decisión: xC = nº de coches producidos cada semana xT = nº de trenes producidos cada semana

Ingresos semanales: 27xC+21xT Costos semanales: Materiales: 10xC+9xT Función objetivo: Ingresos semanales: 27xC+21xT Costos semanales: Materiales: 10xC+9xT Mano de obra: 14xC+10xT Restricciones: No más de 100 horas de acabado: 2xC + xT 100 No más de 80 horas de carpintería: xC + xT 80 La demanda de coches está limitada: xC 40 La producción no puede ser negativa: xC 0, xT 0 También se puede expresar en términos de los márgenes unitarios Coches = 27 – 10 – 14 = 3 Trenes = 21 – 9 -10 = 2

Coherencia de unidades: Las variables de decisión xc, xT están en unidades/semana La función objetivo está en M$/semana Las restricciones están expresadas en horas Se observa que estamos usando coherentemente las unidades Modelo final Sujeto a: 2 XC + XT 100 XC + XT 80 XC 0 XT 0 XC  40

Para dar solución al modelo planteado, se debe graficar las restricciones en un sistema cartesiano XT , XC 2 xC + xT 100 xC + xT 80 xC 0 xT 0 XC  40 Para dibujar las restricciones, en cada una de ellas se determinan los puntos de corte con los respectivos ejes Las soluciones factibles se encuentran en los vértices de la región que se forma al dibujar las restricciones Los vértices se encuentran al intersectar dos restricciones de la región factible

Restricciones   Mayor o igual a Menor o igual a

xT0 Al graficar cada una de las restricciones, se genera el área de soluciones factibles y se visualizan los vértices de la solución Vértices 1: Xc=40; Xt=0 2: Xc=40; Xt=20 3: Xc=20; Xt=60 4: Xc=0; Xt=80 xC+xT80 2xC+xT100 2 1 xC 40 3 xC0 4

xT0 Vértices 1: se igualan ecuaciones: xC 40 y xT0 xC 40 y 2xC+xT100 3: se igualan ecuaciones: 2xC+xT100 y xC+xT80 4: se igualan ecuaciones: xC+xT80 y xC0 xC+xT80 2xC+xT100 2 1 xC 40 3 xC0 4

Se evalúa en cada vértice EVALUAR SOLUCIONES Función: 3xC+2xT Se evalúa en cada vértice Xc Xt f 40 120 20 160 60 180 80 2 1 3 Solución: Xc= 20 Xt = 60 4

Actividad 2.1: Problema: Mezcla de Productos Se solicita determinar, la solución óptima usando método grafico Función Objetivo Maximizar: f= 300*X + 500*Y Sujeto a : 4,5*X + 7,5*Y  9000 2*X + Y  1400 X + 3*Y  900 X 0 Y  0

Restricción 4,5*X + 7,5*Y  9000

Restricción 4,5*X + 7,5*Y  9000 Restricción 2*X + Y  1400

Restricción 4,5. X + 7,5. Y  9000 Restricción 2 Restricción 4,5*X + 7,5*Y  9000 Restricción 2*X + Y  1400 Restricción X + 3*Y  900 Restricción redundante, no define la región factible

Solución Se determinan los vértices de la región factible y se evalúa la función objetivo en cada vértice Vértice 1 Intersección de restricción (X + 3Y ≤ 900) con eje Y Vértice 2 Intersección de restricción (X + 3Y ≤ 900) con (2X + Y ≤ 1400) Vértice 1 Intercección de restricción (2X + Y ≤ 1400) con eje X Vértice X Y Objetivo 1 300 150.000 2 660 80 238.000 3 700 210.000