LÓGICA DE ORDEN SUPERIOR César Barrado Fernández Ingeniería Informática

Contenidos Introducción Lógica y teoría de conjuntos Semántica estándar para SOL Incompletud de la lógica de segundo orden Completud de SOL con semántica general Conclusiones

Introducción Lógica de segundo orden extiende a la lógica de primer orden. Teoría de conjuntos como sustrato

Lógica y teoría de conjuntos (I) Noción de clase pertenecía a la lógica Aparece la teoría de conjuntos de Cantor Replantear conceptos (clase y conjunto) Distinciones (sintaxis y semántica, lenguaje y metalenguaje, niveles de cuantificación).

Lógica y teoría de conjuntos (II) Dos maneras de fundamentar una teoría: Definir conceptos empleando los de otra disciplina ya fundamentada Considerar que los conceptos básicos son primitivos

Clases y conjuntos Para fundamentar la teoría de conjuntos: Noción de conjunto (Cantor): Cualquier colección de objetos bien determinados y distintos que sin contradicción pueda ser tomada como una unidad, reuniendo los objetos en un todo Noción de clase (von Neumann) -> Clases últimas

Paradojas (I) Lógicas o matemáticas: Semánticas o epistemológicas: Paradoja de Russell (definición de clase) Paradoja de Cantor (cardinalidad de la clase universal) Semánticas o epistemológicas: Paradoja de Epiménides (mentiroso) Paradoja de Richard (cardinalidad de los números reales)

Paradojas (II) Para evitar las paradojas lógicas: Teoría de tipos simple Para evitar las paradojas semánticas: Distinción entre lenguaje y metalenguaje Elimina autorreferencia y reflexibidad Teoría axiomática (menos intuitiva que la teoría de tipos)

Teoría de conjuntos como sustrato

Semántica estándar para SOL (I)

Semántica estándar para SOL (II) Al adoptar la semántica estándar para la lógica de segundo orden tomamos la teoría de conjuntos como metalenguaje

Capacidad expresiva (I) Gran poder expresivo de la lógica de segundo orden Cuantificación sobre todos los conjuntos y relaciones del dominio de individuos Excesiva capacidad expresiva Validez de ciertas fórmulas de segundo orden no puede establecerse ni refutarse en la teoría de conjuntos Lenguaje que pueda expresar más de lo que la teoría de conjuntos pueda decidir no es estable No se puede encontrar un cálculo deductivo completo para la lógica asociada a dicha semántica

Capacidad expresiva (II)

Incompletud de la lógica de segundo orden (I) No existe un cálculo correcto y completo para lógica de segundo orden con semántica estándar No puede tenerse a la vez un gran poder expresivo y buenas propiedades lógicas

Incompletud de la lógica de segundo orden (II) Incompletud no tiene que ver con el razonamiento de segundo orden Sí en esta semántica, ligando la metateoría de conjuntos de ZFC a la semántica de segundo orden Lógica completa modificando la semántica

Completud de SOL con semántica general Calculo correcto => semántica de modelos generales Universos de la estructura cerrados bajo definibilidad Cambia el conjunto de fórmulas válidas => cambia la lógica Semántica más natural y razonable

Conclusiones Mayor poder expresivo Mejores propiedades lógicas

GRACIAS