INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Presentación: Los modelos ARIMA responden al acrónimo de procesos AutoRregresivos, Integrados, y Medias móviles (Moving Average), y fueron planteados inicialmente por George Box y Gwilym Jenkins en 1970 en su obra “Time Series Analysis: Forecasting and Control (Holden Day, San Francisco, USA)” como una alternativa a la modelización y predicción tradicional mediante modelos estructurales. La idea subyacente fundamental consiste en admitir que las series temporales son generadas mediante un Proceso Generador de Datos que puede ser identificado y cuantificado y que, por tanto, pueden ser inferidos sus valores a futuro. En este sentido enlaza con los métodos clásicos de predicción basados en la identificación de los componentes de una serie temporal.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Presentación: En efecto cuando realizamos una predicción de la evolución de una determinada serie temporal mediante la descomposición en los componentes estacional, tendencial, cíclico e irregular, el procedimiento que seguimos consiste en identificar comportamientos regulares a lo largo de la serie (movimientos estacionales, tendenciales y cíclicos ) y extrapolarlos a futuro, asumiendo que los comportamientos irregulares tendrán un efecto promedio nulo. En el caso de los modelos ARIMA identificaremos igualmente una serie de comportamientos regulares asociados a procesos de evolución temporal conocidos (Procesos de integración, autorregresivos y de Medias móviles) que interactúan con procesos completamente aleatorios (Ruido blanco).

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Presentación: El proceso de predicción con modelo ARIMA puede, por tanto, resumirse en las siguientes etapas: Identificación de los procesos subyacentes (P.G.D.): 1.1. Orden de integración 1.2.- Tipología de procesos AR y MA 2º) Estimación de los coeficientes asociados a los procesos AR y MA. 3º) Validación del modelo estimado. 4º) Cuantificación a futuro de los valores de la serie objetivo.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Fundamentos estadísticos: La modelización ARIMA asume que toda serie temporal está generada por un proceso estocástico (Proceso Generador de datos PGD) en la que los distintos valores observados Yt responden a realizaciones (muestras) concretas de un conjunto de N variables aleatorias Zt, que tienen unas determinadas probabilidades de ocurrencia asociadas a sus respectivas funciones de densidad f(Zt). Estas funciones de densidad serán, en general, desconocidas y no pueden ser estimadas ya que sólo disponemos de una observación de cada una de ellas, por lo que se hace necesario asumir una serie de simplificaciones para poder realizar cualquier tipo de inferencia estadística.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Fundamentos estadísticos: La primera simplificación que debemos asumir es que el proceso es estrictamente estacionario lo que supone que la función de distribución conjunta no se ve afectada por ningún cambio de origen, es decir: f (Zt, Zt+1,…Zt+r)= f (Zt+k,Zt+1+k,…Zt+r+k). Si definimos la media y varianza del proceso como: Estaremos ante un proceso débilmente estacionario(1) si la media es constante en el tiempo y la covarianza depende únicamente de la distancia temporal entre las variables. (1) Si las variables son normales (proceso gaussiano) equivale a un proceso estrictamente estacionario.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Fundamentos estadísticos: La segunda simplificación que debemos asumir es que el proceso es ergódico, lo que supone que los elementos suficientemente alejados en el tiempo estén prácticamente incorrelacionados de forma tal que todos los elementos de la serie temporal aporten información nueva y útil para la media. De esta forma la media temporal es un estimador insesgado y consistente de la media poblacional si su varianza tiende a cero cuando la muestra tiende a infinito: Aunque no es posible contrastar la ergodicidad de un proceso podemos asumirla si la covarianza tiende a cero cuando k tiende a infinito

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Ruido Blanco El denominado ruido blanco es un proceso estocástico que presenta media nula, varianza constante y covarianza nula para cualquier valor de k, si además la distribución es normal, se denomina Ruido Blanco Gaussiano. Este tipo de procesos es estrictamente estacionario.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Camino aleatorio. El camino aleatorio es un proceso tal que la diferencia entre dos valores consecutivos de la variable se comporta como un ruido blanco. Si existe una tendencia sistemática en el cambio se denomina camino aleatorio con deriva. El camino aleatorio es no estacionario en varianza mientras que si tiene deriva tampoco lo es en media.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Proceso Autorregresivo. Definimos un proceso autorregresivo de primer orden AR(1) como un proceso aleatorio que responde a una expresión del tipo Para que el proceso AR(1) sea estacionario se debe cumplir que -1<1<1, para que z2 sea finita y no negativa. Los procesos autoregresivos pueden generalizarse al orden p AR(p) sin más que añadir términos retardados en la expresión general.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Medias móviles. Definimos una media móvil de primer orden MA(1) como un proceso aleatorio que responde a una expresión del tipo Los procesos de medias móviles son estacionarios y, al igual que los autoregresivos pueden generalizarse al orden q MA(q) sin más que añadir términos retardados en la expresión general.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Invertibilidad. El operador retardo B aplicado sobre una serie temporal Yt la desfasa en el tiempo. Un proceso AR(1) puede expresarse como: y operando Dado que la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1B se define como El proceso AR(1) es equivalente a un proceso infinito de medias móviles MA(∞) Invertibilidad

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Invertibilidad. La invertibilidad de un proceso puede generalizarse a un autorregresivo de orden p AR(P) De la misma forma un proceso de medias móviles de orden q MA(q) puede transformarse en un AR(∞) La invertibilidad del proceso MA(q) exige que el proceso AR(∞) sea convergente

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Procesos estocásticos elementales: Procesos integrados. Un proceso integrado es aquel que puede convertirse en estacionario aplicando diferencias. Así, por ejemplo, un camino aleatorio sería un proceso integrado de orden 1 I(1), ya que puede convertirse en estacionario tomando primeras diferencias. Definimos el orden de integración de un proceso como el número de diferencias que debemos aplicarle para convertirlo en estacionario. En el contexto de las series económicas los órdenes de integración más frecuentes son 1 ó 2 I(1) ó I(2). En algunas ocasiones las diferencias deben aplicarse sobre el valor estacional.

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Proceso Generador de Datos. Mediante la adecuada combinación de estos procesos elementales: integración, AR(p), y MA(q) podemos representar la evolución de cualquier serie temporal. Para la series que presentan estacionalidad se pueden reproducir los mismos procesos sobre el orden estacional s (s=4 trimestrales, s=12 mensuales) SAR(p) Integración estacional SMA(q)

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Herramientas de identificación: Correlograma. Denominamos correlograma a una representación gráfica de las funciones de Autocorrelación total (FAC) y parcial (FAP). Las funciones de autocorrelación recogen los valores de los diferentes coeficientes de autocorrelación de una serie para distintos desfases k. El coeficiente de autocorrelación para un determinado desfase k se define como: Si el proceso Zt es estacionario

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Herramientas de identificación: Correlograma. Asumiendo la estacionariedad y ergoicidad del proceso los coeficientes de autocorrelación pueden aproximarse como: La función de autocorrelación parcial estaría formada por los correspondientes coeficientes de autorcorrelación parcial, que miden la relación entre los valores desfasados k periodos una vez eliminados o filtrados los efectos de la correlación entre los restantes desfases. Las bandas de confianza para la FAC y la FAP se aproximan como:

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Herramientas de identificación: Correlograma. Proceso FAC FAP AR(1) MA(1)

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Herramientas de identificación: Correlograma. Proceso FAC FAP AR(2) MA(2)

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARIMA Herramientas de identificación: Correlograma. Proceso FAC FAP SAR(12) SMA(12)