Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Se llaman expresiones algebraicas a una combinación de números y letras separados por los signos aritméticos: + , - , . , : y an Ejemplos: 3x2 ; 4a + 5b + 3c - d ; s / t En toda expresión algebraica se distinguen dos partes: coeficiente: que es el factor numérico parte literal: formada por las letras y sus exponentes 4 x3 y2

Valor numérico de una Expresión Algebraica Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las opera- ciones indicadas. Calcular el valor numérico de la expresión : 4x2 + 3y para x = -2 e y = 5 4(-2)2 + 3(5) = 4 . 4 + 3 . 5 = 16 + 15 = 31 R = 31 Calcula el valor numérico de 4a3 - 5b2 - 3c ; para a=-2, b=5 y c = -1 4(-2)3 - 5(5)2 - 3(-1) = 4 .(-8) - 5.(25) - 3.(-1) = -32 -125 + 3 = - 154 R = -154

Monomios Grado de un monomio Se llama MONOMIO a toda expresión algebraica en la que sólo aparecen las operaciones produc-to, división o potenciación. Pero nunca la suma o la resta. Son Monomios: 4x3y2 ; - 3a5 ; 3/4 ab3 ; -10ab4c Grado de un monomio El grado de un monomio viene dado por la suma de los exponentes de sus letras 4x3y2 ; - 3a5 ; 3/4 ab3 ; -10ab4c 5º grado 5º grado 4º grado 6º grado

Monomios semejantes 4x3y Coeficiente Parte literal 4 x3y Se llaman monomios semejantes aquellos que tienen la misma parte literal, aunque tengan distinto coeficiente. 4x3y -5x3y 12x3y x3y 5/4x3y Estos monomios son semejantes pues la parte literal x3y es la misma en todos. Estos monomios no son semejantes : 4x2y ; 4xy2 ; 4xy ; 4x2y2 . Pues tienen distinta parte literal .

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, éstos tienen que ser semejantes. Veamos unos ejemplos: Efectúar 4x3y + 5x3y -7x3y +3x3y - x3y = Vemos que todos son semejantes 4x3y + 5x3y -7x3y +3x3y - x3y = 4x3y Para sumar o restar monomios semejantes,se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 5abc + 3abc - 10abc + 8abc - 2abc = 4abc 9y5x - 11y5x - 3y5x + 2y5x - y5x = - 4y5x

Para multplicar monomios, éstos no tienen que ser semejantes. Producto de monomios Para multplicar monomios, éstos no tienen que ser semejantes. Para multiplicar monomios, se multiplican en primer lugar los coeficientes y, a continuación la parte literal. Para multiplicar la parte literal nos basamos en las propiedades de las potencias. Veamos unos ejemplos:Efectúa: -4x3y · 5ax2y3 · 2xay = -40 x6a2y5 3x2y3 · (-2x3y) ·(-y2ab) = 1º) -4 . 5 . 2 = - 40 6x5y6ab 2º)x3y · ax2y3 · xay = x6a2y5

División de monomios Para dividir monomios, hallamos primero el cociente de los coeficientes (teniendo en cuenta la regla de los signos) y, a continuación dividimos la parte literal teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Veamos un ejemplo: -4x3y4a : 2x2y = -2 xy3a -3x3y -4 : 2 = -2 X3y4a : x2y = xy3a

POTENCIA DE UN MONOMIO Para hallar la potencia de un monomio, se elevan el coeficiente y la parte literal a dicha potencia. Veamos unos ejemplos: (3a3bx2)4 = 81 a12 b4 x8 34 = 81 (a3)4=a12 b4 (x2)4= x8 (-5x3y2z4)3 = -125 x9 y6 z12 (-5)3 = -125 (x3)3 = x9 (y2)3= y6 (z4)3= z12

Polinomios Se llama polinomio a toda expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios no semejantes. 5a3 + 3a2 - 5a + 4 Veamos un ejemplo : Cada monomio se llama término del polinomio El grado de un polinomio viene dado por el mayor de los grados de los monomios que lo componen 5a3 + 3a2 - 5a + 4 Polinomio de 3er grado Algunos polinomios reciben nombres especiales: BINOMIO:Formado por 2 monomios, 4x2 - 5 TRINOMIO:Formado por 3 monomios, 3x3 - 5x + 4 Monomio de 3º grado

Clasificación de los Polinomios DESORDENADO X3+4X-2X2+1 CRECIENTE 1+4X-2X2+X3 COMPLETO ORDENADO X3-2X2+4X+1 X3+4X-2X2+1,tiene todos los grados POLINOMIOS DECRECIENTE X3 -2X2+4X+1 INCOMPLETO 2X3-5+2X,le falta algún grado

Clasificación de los Polinomios DESORDENADO X3+4X-2X2+1 CRECIENTE 1+4X-2X2+X3 COMPLETO ORDENADO X3+4X-2X2+1 X3-2X2+4X+1 POLINOMIOS DECRECIENTE X3 -2X2+4X+1 INCOMPLETO 2X3-5+2X

Suma de Polinomios Para sumar polinomios, en primer lugar los ordenaremos de la misma forma(creciente o decreciente) y, a continuación los colocaremos en columnas haciendo coincidir los monomios semejantes. Veamos unos ejemplos: Los ponemos en columnas ordenándolos de forma decreciente (3x + 5 - x2) + (-3 +2x2 - 4x) + (3x2 -6 ) = -x2 + 3x + 5 Primer sumando ordenado + 2x2 - 4x - 3 Segundo sumando ordenado y en su sitio Tercer sumando ordenado y dejando hueco libre 3x2 - 6 4x2 - x - 4 Es fácil, ¿ verdad? - ¡ Hagamos otra suma!

(-5x + 4 - 3x3 + 2x2) + ( x2 - 2 + 6x + 5x3) + (2x2 + x3 - 3) = Suma de Polinomios Efectúa: (-5x + 4 - 3x3 + 2x2) + ( x2 - 2 + 6x + 5x3) + (2x2 + x3 - 3) = Los ordenamos de forma creciente y, los ponemos en columna haciendo coincidir monomios semejantes + 4 - 5x + 2x2 - 3x3 + - 2 + 6x + x2 + 5x3 - 3 + 2x2 + x3 - 1 + x + 5x2 + 3x3 ¿ Has cazado la suma?

Diferencia de Monomios Para restar monomios se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo Veamos: Efectuar:(-5a + 6 -2a2 + 3a3) - (3a2 - 5a - 2a3 -5) = Vamos a ordenarlos de forma decreciente y, le sumaremos al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, cambiaremos los signos de este último. Minuendo Sustraendo La resta la hemos convertido en suma, cambiando los signos del sustraendo 3a3 - 2a2 - 5a + 6 + Hagamos otro ejercicio 2a3 - 3a2 +5a + 5 5a3 - 5a2 +11 2x2 - 5x + 4 2x2 - 5x + 4 - + -3x2 - 3x - 2 +3x2 +3x + 2 5x2 - 2x + 6

Teniendo muy en cuenta la regla de los signos Multiplicación de un Polinomio por un Monomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicaremos el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio. Veamos Teniendo muy en cuenta la regla de los signos (4x3 - 5x2 + 3x - 6) · (-4x2) = 4x3 - 5x2 + 3x - 6 (4x3) ·(-4x2) = -16x5 (-5x2) · (-4x2) = +20 x4 (+3x) · (- 4x2) = -12x3 ( -6) · (- 4x2) = +24x2 · - 4x2 -16x5 +20 x4 -12x3 +24x2 Hagamos otro ejercicio: (-9x+5x3-2x2+4) · 3x3 = Ordenamos el polinomio de forma decreciente 5x3 - 2x2 - 9x + 4 4 . 3x3 = +12x3 5x3 . 3x3 =15x6 (-9x) . 3x3 = -27x4 · 3x3 (-2x2) ·3x3= -6x5 15x6 - 6x5 - 27x4 +12x3

Producto de polinomios Hallar el siguiente producto: (4x2-3x+4) ·(3x-5)= En primer lugar multiplicamos el monomio -5 por el polinomio multiplicando En segundo lugar multiplicamos el monomio 3x por el polinomio multiplicando, colocando en columna los monomios semejantes 4x2 - 3x + 4 · 3x - 5 Ahora sumamos los dos polinomios que han resultado -20x2 +15x -20 12x3 - 9x2 + 12x Hagamos otra multiplicación: 12x3 -29x2 +27x -20 8a3 - 5a2 - 4a - 3 · a2 - 5 Sumemos ahora los dos polinomios - 40a3 +25a2 + 20a + 15 8a5 - 5a4 - 4a3 - 3a2 8a5 - 5a4- 44a3- 22a2 + 20a + 15

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Hagamos la siguiente división: (8x4-12x3+28x2-16x) : (-4x) = Observamos que el polinomio dividendo está ordenado, por lo que nos ponemos a hacer la división +4 · (-4x) = -16x, pero como vamos a restar +16x -7x · (-4x) = + 28 x2 , pero como vamos a restar (-28x2) +3x2 · (-4x) = -12x3 ,pero como vamos a restar ( +12x3) -2x3 · (-4x) = +8x4 , pero como vamos a restar (-8x4) Bajemos ahora +28x2 -16x : (-4x) = +4 +28x2 : (-4x) = -7x Bajemos -16x Bajemos ahora -12x3 -12x3 : (-4x)= +3x2 8x4: (-4x) = -2x3 8x4 -12x3 + 28x2 - 16x -4x + -8x4 -2x3 +3x2 -7x +4 -12x3 +12x3 +28x2 Hagamos otra ¿ Te has enterado? Cociente -28x2 -16x +16x Resto

División de Polinomios El polinomio está ordenado en forma decreciente, lo vamos a ordenar,en este caso, de forma creciente y comenzaremos la división. - 1/3 · 9x2 = -9/3 x2 = -3x2, pero como vamos a restar + 3x2 -2x · 9x2 = -18x3, pero como vamos a restar +18x3 Podemos hacer la prueba multiplicando el cociente por el divisor y nos tiene que dar el dividendo +3x3 ·9x2 = +27x5 , pero como vamos a restar -27x5 (27x5-18x3-3x2) : (9x2) = Ahora bajamos -18x3 y lo dividimos entre 9x2 = -2x En primer lugar dividimos -3x2 entre +9x2 = - 1/3 +27x5 : +9x2 = +3x3 Vamos a bajar +27x5 - 3x2 - 18x3 + 27x5 9x2 + 3x2 - 1/3 - 2x +3x3 COCIENTE - 18x3 +18x3 +27x5 -27x5 RESTO Si trabajas un poco tú solo, no se resistirá ningún polinomio

División de un polinomio por otro polinomio Hasta ahora hemos dividido un polinomio por un monomio. Ahora vamos a dividir un polinomio por otro polinomio Los dos polinomios están ordenados de forma creciente, por tanto los vamos a dejar así Multiplicamos a2 ·(5 - 4a) = +5a2 - 4a3 , pero como vamos a restar - 5a2 + 4a3 Ahora multiplicamos:+3a · (5-4a) = 15a - 12a2 , pero como vamos a restar - 15a + 12a2 Ahora te toca traba- jar a ti Dividimos el primer monomio del dividendo, entre el primer monomio del divisor, es decir, +15 : +5 = +3 Ahora multiplicamos +3 por el divisor: +3 · (5-4a) = +15 - 12a pero como vamos a restar -15 + 12a Dividimos: + 5a2 entre +5 = +a2 A continuación bajamos - 7a2 Dividimos +15a entre +5 = + 3a Por último bajamos - 4a3 Y sumamos 15 + 3a - 7a2 - 4a3 5 - 4a -15 + 12a +3 + 3a +a2 0 + 15a - 7a2 - 15a + 12a2 0 + 5a2 - 4a3 - 5a2 + 4a3 Coge un papel y un lápiz y haz esta división ordenando los polinomios de forma decreciente Dividamos (15 + 3a - 7a2 - 4a3 ) : (5 - 4a) =

Haz todos los ejercicios que te pongan tus Profesores F I N Hasta el próximo tema. Esperamos que te hayas enterado del tema. Si no es así, repite de nuevo el programa y ve fijándote detalle por detalle. Si tienes alguna duda, llama a tu Profesor o Profesora, que te resolverá el problema. Haz todos los ejercicios que te pongan tus Profesores