INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 14 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS INFERENCIA DE LA MEDIA U.D. 14.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Se desea estimar la media, μ, de una población cuya desviación típica, σ, es conocida. Para ello se recurre a una muestra de tamaño n en la cual se obtiene una media muestral x. Si la población de partida es normal o si el tamaño de la muestra es n ≥ 30, entonces el intervalo de confianza de μ con un nivel de confianza de (1 – α).100% es: (x – zα/2 . σ/√n , x + zα/2 . σ/√n). Nota_1 Una vez extraída la muestra. Su media x estará o no en el intervalo. No podemos hablar de probabilidad, puesto que no sabemos el valor de μ; en su lugar diremos que tenemos un nivel de confianza (1 – α) de que μ esté en dicho intervalo. Nota_2 Si la desviación típica, σ, de la población es desconocida, hay que estimarla a partir de la muestra. Su valor será: σ = √ [∑(xi – x)2 / (n – 1)] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Recordatorio: A emplear para ejemplos En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2 zα/2 0,9 0,05 1,645 0,95 0,025 1,96 0,99 0,005 2,575 k 0 k=zα/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_1 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de un IES, cuya desviación típica, σ, vale 0,18. Tenemos una muestra de 36 alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,68. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%. Resolución: El intervalo de confianza será: (x – zα/2 . σ/√n , x + zα/2 . σ/√n). Sustituyendo los datos conocidos: (1,68 – zα/2 . 0,18/√36 , 1,68 + zα/2 . 0,18/√36). Para un nivel de confianza del 99%, sabemos que α/2 = 0,005 y que zα/2 = 2,575 Luego el intervalo de confianza será: (1,68 – 2,575 . 0,18/√36 , 1,68 + 2,575. 0,18/√36). Operando queda: (1,68 – 0,07725, 1,68 + 0,07725) = (1,60275 , 1,75725) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_2 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de bachillerato de la provincia de Palencia, cuya desviación típica, σ, vale 0,16. Tenemos una muestra de 400 alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,67. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%. Resolución: El intervalo de confianza será: (x – zα/2 . σ/√n , x + zα/2 . σ/√n). Sustituyendo los datos conocidos: (1,67 – zα/2 . 0,16/√400 , 1,67 + zα/2 . 0,16/√400). Para un nivel de confianza del 95%, sabemos que α/2 = 0,025 y que zα/2 = 1,96 Luego el intervalo de confianza será: (1,67 – 1,96 . 0,16/√400 , 1,68 + 1,96 . 0,16/√400). Operando queda: (1,67 – 0,01568, 1,67 + 0,01568) = (1,65432 , 1,68568) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de secundaria de Castilla y León, cuya desviación típica, σ, también desconocemos. Tenemos una muestra de 10000 alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,65, y su desviación típica , s , que vale 0,20. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%. Resolución: El intervalo de confianza será: (x – zα/2 . σ/√n , x + zα/2 . σ/√n). Al ser n=10000 muy grande, podemos poner: σ = s = 0,20 Sustituyendo los datos conocidos: (1,65 – zα/2 . 0,02/√10000 , 1,65 + zα/2 . 0,20/√10000). Para un nivel de confianza del 90%, sabemos que: α/2 = 0,05 y que zα/2 = 1,645 Luego el intervalo de confianza será: (1,65 – 1,645 . 0,20/√10000 , 1,68 + 1,645 . 0,20/√10000). Operando queda: (1,65 – 0,00329, 1,65 + 0,00329) = (1,64671 , 1,65329) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Ejercicios propuestos EJEMPLO_4 a) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%, según los datos del Ejercicio_1. b) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%, según los datos del Ejercicio_1. EJEMPLO_5 a) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%, según los datos del Ejercicio_2. b) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%, según los datos del Ejercicio_2. EJEMPLO_6 a) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%, según los datos del Ejercicio_3. b) Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%, según los datos del Ejercicio_3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS