Clase Proporcionalidad y semejanza I° Ciclo Prof. María José Lascani

1.1 Proporcionalidad de segmentos 1. Proporcionalidad de segmentos Los segmentos AB y CD son PROPORCIONALES a EF y GH, si se cumple El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza o escala. Se designa por la letra k. AB CD EF GH = = k

2.1 Proporcionalidad de segmentos 2. Proporcionalidad de figuras Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados por cualquier par de puntos del original y los segmentos correspondientes de la copia son proporcionales. La foto pequeña de la escultura mide 21 mm de ancho y 35 de alto. La foto grande es una ampliación y sus dimensiones son 36 mm de ancho por 60 mm de alto. Por eso decimos que son figuras semejantes.

3. Semejanza 3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados correspondientes sean proporcionales. A E D C B      G F J I H      Se llaman lados correspondientes a los lados que unen dos vértices con ángulos respectivamente congruentes

3.2 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. AB C    E F D    AB es correspondiente a DE BC es correspondiente a EF AC es correspondiente a DF  AB DE BC EF AC DF = = = k 3. Semejanza Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

1° Criterio AA Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. 3. Semejanza 3.3 Criterios de semejanza 2° Criterio LLL Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. 3° Criterio LAL Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. A BC A´ B´ C´ 50º 50º 60º 60º 70º 70º A´ B´ C´ A B C

En triángulos semejantes, los elementos secundarios también son proporcionales y están en la misma razón que sus lados homólogos. 3. Semejanza A B C hChC P R Q hRhR 3.4 Razón de semejanza Si, entonces AB PQ = k La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

4. Teorema de Thales 4.1 Aplicar semejanza de triángulos Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos Al construir un triángulo ABC y trazar una recta paralela a uno de los lados y que corte a los otros lados. B’ C’ A B C Al ser una recta paralela, ésta corta los lados de cada triángulo en lados proporcionales: A’  Se forma un triángulo pequeño A’B’C’.

4. Teorema de Thales 4.1 Aplicar semejanza de triángulos Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales. Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo pequeño, A’B’C’, semejante al grande, ABC (A  A´). Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales. Al aplicar el criterio LAL de semejanza de triángulos B’ C’ A B C A’ 

Recuerde: Guía semanal Pág. 22 – 23 – 24 – – 32 de guía de geometría.