Desarrollo por Menores y Cofactores Mtro. Gabriel Alfonso Buenfil Monsreal

Definición  1. si A = [a] es una matriz 1x1 el determinante de A se denota y define como det(A) = a  2 si A = es una matriz de 2x2 de define y denota el determinante de A como det(A) = ad – bc  3 supongamos que n es un entero mayor a 2 y que los determinantes para matrices de orden menor o igual a n – 1 ya han sido definidos. Si A es una matriz n x n, entonces: (a) Se define el menor del elemento a ij de A (o simplemente el menor i j) como el determinante que se obtiene de la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. A este numero lo denotamos por M ij.  El cofactor del elemento a ij de A (o simplemente el cofactor ij), se define y denota como cij = (-1) i+j M ij. a b c d

 Es posible hacer un poco más eficiente el desarrollo por cofactores. Si A es una matriz cuadrada  de orden n y vamos a calcular su determinante, por ejemplo, desarrollando por cofactores en la fila Fi,  entonces |A| = Σ(−1) i+k a ik M ik  donde M ik es el menor del elemento a ik de la matriz A; es decir, M ik es el determinante de la matriz (n−1)×(n−1) que resulta de eliminar la fila i y la columna k de la matriz A. Dado que (−1) i+k es 1 o −1 si j+k es par o impar, podemos desarrollar las siguientes matrices de signos para evitar calcular la potencia (−1) i+j : n K=1

Solución de sistemas lineales de n x n, empleando la regla de Cramer

La regla de kramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer ( ), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).Colin Maclaurin

 El método de Cramer esta sustentado en el calculo de determinantes, motivo por el cual su aplicación esta restringida a matrices cuadradas. Para calcular el determinante de una matriz 3x3 partimos de la estructura de un sistema de ecuaciones como sigue: Coeficient es Variables resultados

Tomando la matriz de coeficientes del sistema Calculamos el determinante como sigue: Matriz de Coeficientes

Tomando la matriz de coeficientes del sistema replicamos las dos primeras columnas y realizamos las multiplicaciones indicadas por las diagonales y el signo indicado en cada color. Multiplico por el signo (+) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (+) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (-) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (-) El resultado de cada diagonal

Siendo A una matriz (de coeficientes) de nxn perteneciente al sistema las respuestas del sistema vienen dadas por. Donde son matrices construidas a partir del cambio de la columna de la matriz A que indica el subíndice de por los valores del vector de resultados

La aplicación de la regla de Cramer se sustenta en cuatro simples procesos:  Primero debemos plantear la matriz de coeficientes y el vector de resultados del sistema.  Después mediante la regla de Cramer planteamos las matrices D1, D2 etc.  Calculamos los valores de los determinantes de cada matriz planteada.  Y por ultimo para obtener las respuestas del sistema reemplazamos los valores calculados realizando las divisiones indicadas en la regla de Cramer.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3, empleando la regla de Cramer: Primero planteamos la matriz de coeficientes y el vector de resultados. Coeficient es Variables resultados

Aplicando la opción dos para el calculo de determinantes tenemos. Sumando los resultados de las diagonales: *(+) *(-)

De igual manera calculamos para D 1, D 2 y D 3

Por ultimo reemplazamos y hallamos las respuestas del sistema:

Actividad de aprendizaje Resolución de Sistemas lineales con los métodos conocidos pág. 205 (pares), pág. 6 (1, 3, 5 y 7) y pag.26 (1, 3, 5 y 7) del libro de texto

Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura.