Medidas de centralización:  Media aritmética, mediana y moda para: i) listas de datos ii) datos agrupados en una tabla de frecuencia iii) datos agrupados en intervalos de clase.  Cuartiles quintiles y percentiles.  Medidas de dispersión : rango, desviación standard y varianza para listas de datos.  Significados de valores anteriores.

Medidas de centralización: Una medida de centralización es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Estos valores tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados, razón por la que se conocen como medidas de centralización, siendo las más comunes la media aritmética, la mediana y la moda, donde la aplicación de una o de otra depende de los resultados que se pretende sacar de los datos.

1) Media Aritmética: Es el promedio de todos los valores de la variable; se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de ellos. Ejemplo: i) 3, 5, 2, 4, 3,1, X = 21 7 X = 3

ii) 6, 12, 8, 7, 6, X = 48 6 X = Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias: La media aritmética se obtiene sumando los productos de las variables por las frecuencias respectivas y dividiendo este por la suma de las frecuencias absolutas. Ejemplo: 8

En la siguiente tabla de frecuencia se registran las notas de una prueba: Variable Nota frecuencia absoluta Variable por f. absoluta Suma =133 n = 27 X = X = 4,925 El promedio de las 27 notas es 4,925.

Si los datos están agrupados en intervalos de clase: La media aritmética se calcula sumando los productos de la frecuencia absoluta por las marcas de clase del intervalo y dividiendo por la suma de las frecuencias absolutas o tamaño de la muestra. Ejemplo: Al calcular la media aritmética para los datos de la siguiente tabla de frecuencias:

n = 20 Variable Puntaje frecuencia absoluta f Marca de clase xi f · xi  f·xi= 680 X = X = 34 El promedio de los 20 puntajes es 34. La media aritmética corresponde al valor promedio de los “n” datos dados o distribuidos en la tabla de frecuencias.

b) Mediana: Es el valor que ocupa el lugar central entre todos los datos previamente ordenados; es el valor de la variable que en una distribución de frecuencias, deja igual número de valores antes y después de él. i) Si el número de datos es impar: La mediana coincide con el valor central; es decir es el término medio. ii) Si el número de datos es par: La mediana queda determinada por la semisuma de los valores centrales.

Ejemplo: i) 3, 5, 2, 4, 3,1, 3 Ordenando: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5 Md Md = 3 ii) 6, 12, 8, 7, 6, 9 Ordenando: 6, 6, 7, 8, 9, 12 Md Md = Md = 15 2 Md = 7,5

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias: La mediana corresponde al valor de la variable de la frecuencia acumulada que es igual o mayor que la mitad de los datos. Ejemplo: En la siguiente tabla de frecuencia se registran las notas de una prueba:

Variable Nota frecuencia absoluta Frecxuencia acumulada n = 28 Si n =  n2n2 = La frecuencia acumulada que es  que es ; luego: 28 2 = Md = 5

Si los datos están agrupados en intervalos de clase: La mediana coincide con la marca de clase del intervalo que contiene el valor central es decir el dato n/2 ; intervalo que con la frecuencia acumulada se ubica. Ejemplo: Al calcular la mediana para los datos de la siguiente tabla de frecuencias:

Variable Puntaje frecuencia absoluta f Marca de clase xi frecuencia acumulada Si n =  n2n2 = 20 2 = 10 n = está en el intervalo: Luego la mediana es: Md = 35 Md

3) Moda: Es el valor de la variable estadística que más se repite en una serie de datos. Ejemplo: i) 3, 5, 2, 4, 3,1, 3 ii) 6, 12, 8, 7, 6, 9 Mo = 3 6 De haber dos cantidades que se repitan mayor e igual número de veces habrá dos modas, siendo bimodal esta distribución. 3 es el valor que más se repite 6 es el valor que más se repite

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias: La moda corresponde al valor de la variable de mayor frecuencia absoluta. En la siguiente tabla de frecuencia se registran las notas de una prueba: Ejemplo:

Variable Nota frecuencia absoluta La mayor frecuencia abso- luta es: 8 luego la moda es: Mo = 5 (variable de mayor frecuencia absoluta)

Si los datos están agrupados en intervalos de clase: La moda corresponde a la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia absoluta. Ejemplo: Al calcular la moda para los datos de la siguiente tabla de frecuencias:

Variable Puntaje frecuencia absoluta f Marca de clase xi La mayor frecuencia absoluta es: 6 La moda está en el intervalo: luego la moda es: Mo = 35

Ejercitación: 1) Dada la siguiente lista de datos correspondiente a las edades de 8 niños; determine: 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12 X = a) X = 9 = (promedio de las 8 edades) b) 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12 Md = 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12 c) Mo = (edad que más se repite) 9 Md = == 9 9 (edad central)

2) Dada la siguiente tabla de frecuencias en la que se resumen las edades de un grupo de 20 amigos: Variable Edad frecuencia absoluta Variable por f. absoluta frecuencia acumulada Suma =292 n = 20 X = X = 14,6  Media aritmética: 52

Si n =  n2n2 = 20 2 = 10 Mediana: La frecuencia acumulada que es  que es ; luego: Md = 15 Variable Edad frecuencia absoluta Variable por f. absoluta frecuencia acumulada n = 20 (variable de frec. acum mayor o igual a n/2 )

Variable Edad frecuencia absoluta Variable por f. absoluta frecuencia acumulada Moda: La mayor frecuencia absoluta es: 7 luego la moda es: Mo = 15 (variable de mayor frecuencia absoluta)

3) Para los datos agrupados en la siguiente tabla de frecuencia, en la que se distribuyen los pesos de 40 personas; calcular: n = 40  f·xi= Variable Peso frec. abs. f Marca de clase xi f · xi frec. acum. fa X = X =  55,25 Media aritmética:

n = 40 Variable Peso frec. abs. f Marca de clase xi f · xi frec. acum. fa Si n =  n2n2 = 40 2 = está en el intervalo: Luego la mediana es: Md = 55 (marca de clase del intervalo que contiene el valor central) Mediana:

n = 40 Variable Peso frec. abs. f Marca de clase xi f · xi frec. acum. fa La mayor frecuencia absoluta es: 15 La moda está en el intervalo: luego la moda es: Mo = 55 Moda: (marca de clase del intervalo de mayor frecuencia absoluta)

Relación entre la media aritmética, mediana y moda: En las siguientes figuras, se muestran las posiciones relativas de la media aritmética, mediana y moda para curvas de frecuencias ya sea simétrica o sesgadas a la derecha y a la izquierda respectivamente. curva simétrica curva sesgada a la derecha curva sesgada a la izquierda

Cuartiles quintiles y percentiles: Para cualquier colección de datos numéricos ordenada de menor a mayor se define: Cuartiles: se divide el total de datos en cuartos; cada cuartil queda determinado por la semisuma del valor anterior y posterior a cada línea de corte. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la estatura de 12 alumnos expresada en cm. donde 12:4 = 3 ; luego cada 3 datos se encuentra cada cuartil: 147, 148, 149, 149, 150, 150, 151, 151, 152, 153, 153, C 1 =149 C 2 =150,5 C 3 =152,5

El cuartil 1 o inferior: es 149; es decir 1/4 o el 25% de los datos son menores o iguales a 149 y los 3/4 o el 75% iguales o superiores. El cuartil 2: es 150,5 (coincidente con la mediana) significa que los 2/4 es decir la mitad o el 50% de los datos es menor o igual a 150,5 y la otra mitad o 50% iguales o superiores. El cuartil 3 o superior: es 152,5 es decir 3/4 de los datos o 75% son menores o iguales a 152,5 y 1/4 o 25% iguales o superiores. 147, 148, 149, 149, 150, 150, 151, 151, 152, 153, 153, C 1 =149 C 2 =150,5 C 3 =152,5

Quintiles: se divide el total de datos en cinco partes iguales ; cada quintil queda determinado por la semisuma del valor anterior y posterior a cada línea de corte. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la edad de 20 alumnos donde 20:5 = 4 ; luego cada 4 datos se encuentra cada quintil : 8, 8, 9, 9,10,10,11,11,11,11,12,12,13,13,13,14,14,14,14, Q 1 =9, Q 2 = Q 4 = Q 3 =12,5

8, 8, 9, 9,10,10,11,11,11,11,12,12,13,13,13,14,14,14,14, Q 1 =9, Q 2 = Q 4 = Q 3 =12,5 Los quintiles dividen el total de datos en quintos o en 20%; así el significado del: Q 1 es: 1/5 o 20% de los datos son  a 9,5 y los 4/5 o 80% iguales o superiores a este valor. Q 2 es: 2/5 o 40% de los datos son  a 11 y los 3/5 o 60% iguales o superiores a este valor. Q 3 es: 3/5 o 60% de los datos son  a 12,5 y los 2/5 o 40% iguales o superiores a este valor. Q 4 es: 4/5 o 80% de los datos son  a 14 y 1/5 o 20% iguales o superiores a este valor.

Percentiles: se divide el total de datos en 100 partes iguales ; cada percentil queda determinado por la semisuma del valor anterior y posterior a cada línea de corte. Al dividirse el total de datos en 100 partes iguales, cada percentil equivale a un 1%. Ejemplo: Dadas las siguientes 30 notas: 1,4 2,4 2,5 2,5 3,3 3,3 3,4 3,6 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 5,8 6,2 6,7 7,0 a) Determine el percentil 40:

1,4 2,4 2,5 2,5 3,3 3,3 3,4 3,6 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 5,8 6,2 6,7 7,0 a) Determine el percentil 40: El 40% de 30 es: ;luego el percentil 40 esta determinado por la semisuma de los datos y ,1+4,2 2 P 40 =4,15 P 40 = = 8,3 2 2/5 o 40% de los datos son  a 4,15 y los 3/5 o 60% iguales o superiores a este valor = 2 5

1,4 2,4 2,5 2,5 3,3 3,3 3,4 3,6 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 5,8 6,2 6,7 7,0 b) Determine el percentil 80: El 80% de 30 es: ;luego el percentil 40 esta determinado por la semisuma de los datos y ,5+5,6 2 P 80 =5,55 P 80 = = 11,1 2 4/5 o 80% de los datos son  a 5,55 y 1/5 o 20% iguales o superiores a este valor = 4 5

Medidas de dispersión: Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio se le llama variación o dispersión de los datos. Se utilizan distintas medidas de dispersión, siendo las más empleadas el rango, desviación típica o standard y la varianza. a) Rango: Queda determinado por la diferencia entre el dato mayor y menor de todos ellos; también se le llama por recorrido. Ejemplo:

Para i) 3, 5, 2, 4, 3, 1, 3 ii) 6, 12, 8, 7, 6, 9 Rango: = = 6 b) Desviación Tipica o standard: Valor que permite cuantificar la variabilidad de los datos, por consiguiente si estos son homogéneos o heterogéneos, definiéndose por:

Para i) 3, 5, 2, 4, 3, 1, 3 con xixi x i -x (x i - x) =-2 2-3=-1 3-3= 0 4-3= 1 5-3= ii) 6, 12, 8, 7, 6, 9 con =-2 7-8=-1 8-8= 0 9-8= = xixi x i -x (x i - x) 2

Notar que para (ii) S es ______________ que para (i); luego en (ii) hay una mayor variabilidad entre los datos, siendo estos más heterogéneos a diferencia de (i) donde los datos son más homogéneos es decir están mas cerca del promedio X. mayor

c) Varianza: La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica; es decir viene dada por S 2. Ejemplos: Para i) 3, 5, 2, 4, 3, 1, 3 ii) 6, 12, 8, 7, 6, 9 con S = 1,195 V = (1,195) 2 V = 1,428 con S = 2,08 V = (2,08) 2 V = 4,326

Medidas de centralización:  Media aritmética, mediana y moda para: i) listas de datos ii) datos agrupados en una tabla de frecuencia iii) datos agrupados en intervalos de clase.  Cuartiles quintiles y percentiles.  Medidas de dispersión : rango, desviación standard y varianza para listas de datos.  Significados de valores anteriores.