4. ANÁLISIS FACTORIAL Introducción Modelo factorial ortogonal Construcción del modelo factorial: método de componentes principales método de máxima verosimilitud Análisis factorial y componentes principales 1
Las variables dependen de factores inobservables. Introducción Las variables dependen de factores inobservables. Los factores latentes explican comportamientos visibles en las variables. El objetivo es analizar si hay factores (menos que variables) que expliquen dichas variables. 2 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Sea Factores comunes: Factores específicos o errores: Nota: lij=carga de Xi sobre Fj Matriz de cargas: 3 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Matricialmente, el modelo factorial es: Escribiéndolo de forma desarrollada, quedaría 4 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Requisitos: Si se cumplen estas tres condiciones se dice que el modelo es factorial ortogonal. 5 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Observaciones: Comunalidad (hi2) Especificidad La variabilidad de la variable i se descompone en parte común (se puede medir) y específica (no se puede medir). 6 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal (iii) No siempre existe un modelo factorial ortogonal. Si existe modelo factorial no siempre es único (si tiene más de un factor, no es único). 7 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Ejemplo Analizar si existe un modelo unifactorial para explicar estas tres variables: 8 ANÁLISIS FACTORIAL
Modelo factorial ortogonal Ejemplo Número de variables y de factores. Descomponer VX en comunalidad y especificidad. cov(X3,X2). cov(X3,F2). 9 ANÁLISIS FACTORIAL
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Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Sea Si tiene los siguientes autovalores y autovectores, la descomposición exacta de es 11 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de componentes principales La descomposición exacta de tiene p factores; se puede utilizar la matriz para disminuir el número de factores. Si tiene los siguientes autovalores y autovectores: 12 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de componentes principales La descomposición de es: donde Entonces 13 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Modelo factorial muestral con y S Entonces 14 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de componentes principales donde los autovalores y autovectores son y la matriz de cargas Además, Nota: Análogamente para R 15 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Sea donde Y sea Sean que maximizan 16 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Propiedades No hay óptimo único: se requiere Para obtener una solución única: Se calcula computacionalmente. Las comunalidades son 17 ANÁLISIS FACTORIAL
Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud No se obtiene el mismo resultado por el método de máxima verosimilitud que por componentes principales. La proporción de varianza explicada por el factor j-ésimo calculada por máxima verosimilitud es: Varianza total Nota: Análogamente para R 18 ANÁLISIS FACTORIAL
Análisis factorial y componentes principales El análisis factorial y el análisis de componentes principales están muy relacionados entre sí, pero existen varias diferencias: Mientras que el análisis de componentes principales busca hallar combinaciones lineales de las variables originales que expliquen la mayor parte de la varianza total, el análisis factorial pretende hallar un nuevo conjunto de variables no observables, menor en número que las variables originales, que exprese la mayor parte de la varianza común. 19 ANÁLISIS FACTORIAL
Análisis factorial y componentes principales El análisis factorial supone que existen factores comunes subyacentes a todas las variables, mientras que el análisis de componentes principales, no. 20 ANÁLISIS FACTORIAL
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Solución 24 EJEMPLOS
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