Tema 4. Combinatoria 1.Introducción de la combinatoria 2. Variaciones 2.1 sin repetición 2.2 con repetición 3. Permutaciones 3.1 Sin repetición 3.2 Con repetición 4. Combinaciones 4.1 Sin repetición 4.2 Con repetición 5. Números combinatorias. Propiedades 6. Potencia de un binomio : Binomio de Newton 7. Planteamiento de un problema de combinatoria.

La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. Combinatoria

2.Variaciones Para calcular la variación necesitamos calcular el factorial de un número que es: Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!. Hay dos tipos de variaciones: 1.(Sin repetición) Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplos 1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

2.(Con repetición) Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplos 1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 5 n = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos.

3.Permutaciones 3.1 (Sin repetición) Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplos 1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = (Con repeticiones) Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... n = a + b + c +... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que : Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplo 2. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9 Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática. 4.1.Combinacion(sin repetición) Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m) Combinación(con repetición) Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos tomando 3 de ellos, pudiéndose repetir los elementos en un mismo grupo. Cada grupo decimos que es una combinación con repetición de estos 5 elementos de orden 3. No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo. 4.Combinaciones

Ejemplos: (Con repetición) En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. Solución.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son: El orden importa El orden no importa Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

5.Propiedades de los números combinatorios Con estás propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el triángulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con números combinatorios.triángulo de Tartaglia (Pascal)

6.Potencia de un binomio: binomio de Newton Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)

7. Planteamiento de un problema de combinatoria En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que hay que distinguir: 1. Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. 2. Muestra Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos: Orden Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. Repetición La posibilidad de repetición o no de los elementos.