FORMA ESTÁNDAR DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Prof. José Mardones Cuevas E-Mail: cumarojo@yahoo.com

Sea la función de segundo grado escrita en su forma general. Para obtener la forma estándar de esta función podemos seguir el siguiente procedimiento: Pasamos el tercer término del trinomio al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

Factorizamos por el coeficiente a Calculamos el tercer término del trinomio cuadrado perfecto del segundo factor, y lo agregamos y quitamos para no perder el equilibrio de la igualdad.

Desarrollamos el paréntesis multiplicando el coeficiente a por el trinomio cuadrado perfecto y luego por el término restante.

Escribimos el trinomio como cuadrado de binomio. Despejamos y. Reducimos …

Finalmente, en esta expresión … Obtenemos…

Observación: De las siguientes expresiones se tiene:

¿De qué sirve escribir la función de segundo grado en su forma estándar?

Desplazamiento horizontal Desplazamiento vertical Con ella podemos contestar las siguientes preguntas. Dada la siguiente función de segundo grado determina: Concavidad Desplazamiento horizontal Desplazamiento vertical Punto de corte eje de ordenadas (eje y) Punto de corte eje de abscisas (eje x) Coordenadas del vértice Punto de máximo o de mínimo Ecuación del eje de simetría

Ejemplo 1. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. Solución: Identificamos coeficientes Calculamos h

Ejemplo 1. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. ___________________________________________________ Solución: Ya tenemos Ahora calculamos k

Ejemplo 1. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. __________________________________________________ Solución: Con esta información … Escribimos la función en su forma estándar. Observa que el valor de h produjo un cambio de signo.

Ahora contestamos las preguntas: La parábola tiene: a) La concavidad hacia arriba, porque a>0 b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0 c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0 d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3) e) Corte en el eje de abscisas. Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación. Para reflexionar: ¿Qué pasaría si los coeficientes a y h tienen igual signo? Los puntos de corte en eje de abscisas son (-3/2,0) y (-1,0)

Seguimos contestando las preguntas: La parábola tiene: a) La concavidad hacia arriba, porque a>0 b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0 c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0 d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3) e) Punto de corte en eje de abscisas: (-3/2,0) y (-1,0). f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-5/4,-1/8). g) Punto de mínimo, porque a>0, y su valor es k=-1/8 h) Como eje de simetría x=h=-5/4  4x+5=0

Ejemplo 2. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. Solución: Identificamos coeficientes Calculamos h

Ejemplo 2. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. ___________________________________________________ Solución: Ya tenemos Ahora calculamos k

Ejemplo 2. Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde. __________________________________________________ Solución: Con esta información … Escribimos la función en su forma estándar. Observa que el valor de h produjo un cambio de signo.

Ahora contestamos las preguntas: La parábola tiene: a) La concavidad hacia abajo, porque a<0 b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0 c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0 d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6) e) Corte en el eje de abscisas. Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación. Los puntos de corte en eje de abscisas son (2/3,0) y (-1,0)

Seguimos contestando las preguntas: La parábola tiene: a) La concavidad hacia abajo, porque a<0 b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0 c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0 d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6) e) Punto de corte en eje de abscisas: (2/3,0) y (-1,0). f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-1/6,25/4). g) Punto de máximo, porque a<0, y su valor es k=25/4 h) Como eje de simetría x=h=-1/6  6x+1=0

Para practicar un poco: Con las siguientes funciones, contesta las 8 preguntas formuladas para los ejemplos 1 y 2. También sería bueno que practicaras utilizando el procedimiento mostrado aquí para obtener la forma estándar de la función de segundo grado. Ten presente que las fórmulas se olvidan más rápidamente, pero los procedimientos tienden a perdurar en el tiempo.

Para practicar un poco: Aplicando procedimiento para obtener forma estándar de la función. Cuando sientas que te puedes saltar algunos pasos sin equivocarte, hazlo. Ganarás tiempo.

Hasta pronto ...