Inferencia Estadística Clase Nº 6

Intervalo de Confianza para una proporción Las decisiones dependen con frecuencia de parámetros que son binarios, es decir, parámetros con sólo dos posibles categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las respuestas En este evento, el parámetro de interés es la proporción poblacional P Como por ejemplo, una empresa puede desear saber que proporción de sus clientes paga a crédito en oposición a quienes utilizan efectivo, o estimar en que porcentaje de sus productos son defectuosos en oposición al porcentaje no defectuoso, etc.

Intervalo de Confianza para una proporción Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial esta dado por la estadística: Donde X representa el número de éxitos en N pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra: Se utilizará como estimador puntual del parámetro p.

Intervalo de Confianza para una proporción Def.: Si p es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n, y q = 1-p, un intervalo de confianza aproximado de (1-α)*100% para el parámetro binomial P está dado por: Donde Zα/₂ es el valor Z que deja un área de α/₂ a la derecha. Escrito de otra manera tenemos que el intervalo de confianza es:

Intervalo de Confianza para una proporción Ej.: Una muestra aleatoria de n = 500 familias que tienen televisores en una cierta cuidad, se encuentra que 340 están suscritas a televisión por cable. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción real de familias en esta ciudad suscritas a televisión por cable. La estimación puntual de P es p = 340/500 = 0.68. Para un 95% de confianza encontramos según el valor en la tabla Normal estándar que el Zα/₂ = 1.96, por lo tanto el intervalo de confianza del 95% para P es:

Intervalo de Confianza para una proporción Ejercicio: Un fabricante asegura, a una compañía que le compra un producto en forma regular, que el porcentaje de productos defectuosos no es mayor del 5%. La compañía decide comprobar la afirmación del fabricante seleccionando, de su inventario, 200 unidades de este producto y probándolas. ¿Deberá sospechar la compañía de la afirmación del fabricante si se descubren un total de 19 unidades defectuosas en la muestra?.

Tamaño de la muestra El tamaño de la muestra juega un papel importante al determinar la probabilidad de error así como la precisión de la estimación. Una vez que se ha seleccionado el nivel de confianza, dos factores importantes influyen en el tamaño muestral: la varianza de la población σ² y el tamaño del error tolerable que el investigador está dispuesto a aceptar. Mientras que el primer factor está más allá del control del investigador, si es posible limitar el tamaño del error. El tamaño del error depende de que tan crítico o preciso es el trabajo a realizar.

Tamaño de la muestra Tamaño de la muestra para estimar μ Recordemos que la desviación normal Z de la distribución de muestreo de X viene dada por: Reescribiendo algebraicamente tenemos que e se define como el error muestral, la diferencia entre la media muestral y la media poblacional, que es el error tolerable.

Tamaño de la muestra En el evento probable de que σ² sea desconocida, puede estimarse mediante la desviación estándar muestral S, utilizando una muestra piloto de cualquier tamaño razonable (n ≥ 30). Ej.: El fabricante de reproductores de discos compactos desea construir un intervalo de confianza del 95% para el tamaño promedio de la pieza. Una muestra piloto ha revelado una desviación estándar de 6 mm. ¿ Que tan grande debería ser la muestra si el error tolerable es de 2 mm.?

Tamaño de la muestra Tamaño de la muestra para estimar P e se define como el error muestral, y es la diferencia entre la proporción muestral y la proporción poblacional. La formula requiere el valor de P, sin embargo es el valor que sea desea estimar y además es desconocido. Para solucionar este problema, se determina el valor más conservador de n, y es cuando P(1-P) es máxima, y ocurre cuando P = 0,5

Tamaño de la muestra Ej.: El consejo de la ciudad esta planeando una ley que prohíbe fumar en edificios públicos incluyendo restaurantes, teatros, entre otros. Para dicha planeación, se debe estimar la proporción de ciudadanos quienes apoyan dicho plan. Determine el tamaño muestral necesario si el error no debe exceder del 2% y se debe estar 95% seguro de los resultados. Interpretación: con los datos suministrados por 2401 personas se puede proceder con la estimación de la proporción de todos los residentes quienes están a favor de la ley.