Sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Sistemas de ecuaciones lineales M. en C. René Benítez López

Ejemplo 1 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma? Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces: es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: ………(*) Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales Resolviendo el sistema (*) se obtiene:

Debe acomodarse para poder resolverse: 2x + 3y = 65 + 37 2x + 3y = 102 ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales? Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2 x 2). Se describirán algunos de ellos resol-viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. Recuerda siempre que las ecuaciones tienen que arreglarse de manera que se puedan resolver. Por ejemplo: 3y + 2x – 37 = 65 Debe acomodarse para poder resolverse: 2x + 3y = 65 + 37 2x + 3y = 102 Siempre comprueba tus resultados sustituyendo los datos obtenidos en las ecuaciones originales. .

Método por igualación 1. 2. 3. Este método se resume así: De cada ecuación se despeja la misma variable. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta. 2. 3. El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1. Ejemplo 2 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan. Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t se tiene que: O sea: Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180.

Método por determinantes Si los coeficientes de las variables t y d del sistema se arreglan así se obtiene una matriz. El determinante de una matriz se denota así: y se define como sigue: Y la resolución por determinantes de un sistema se obtiene así:

Ejemplo 3 Resolver por determinantes el sistema Solución Ejemplo 4 Resolver por determinantes el sistema Solución

Si después de resolver el sistema y comprobar los resultados, no te da el resultado correcto, vuelve a revisar tus operaciones, lo más probable es que el error esté en los signos.