Ing. Andrés Castro Villagrán CINEMÁTICA Ing. Andrés Castro Villagrán

cinemática La mecánica la más antigua de las ciencia físicas, estudia el movimiento de los cuerpos. La cinemática es el estudio del movimiento sin considerar las fuerzas u otros factores que influyen sobre el mismo.

cinemática El cálculo de la trayectoria de una pelota de béisbol o de una sonda espacial enviada a Marte son algunos de los problemas que resuelve. Cuando se describe el movimiento, se trata de la parte de la mecánica denominada cinemática (término de origen griego que significa movimiento como en cinema)

Movimiento rectilíneo

Movimiento rectilíneo Movimiento rectilíneo es el realizado por un punto P a lo largo de una línea recta, que por conveniencia escogeremos como eje x. los símbolos vectoriales se omitirán en esta parte. La posición del punto P en un instante cualquiera t se expresa en función de su distancia x a un origen fijo O sobre el eje x. la distancia x será positiva o negativa de acuerdo con el convenio normal de notación.

Movimiento rectilíneo La velocidad media vm del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + ∆t, durante el cual su posición varía de x a x + ∆x, es el cociente ∆x/∆t. matemáticamente, se describe vm = ∆x/∆t

Movimiento rectilíneo La velocidad instantánea v del punto P en el instánte t es el límite de la velocidad media (definida anteriormente) cuando el incremento del tiempo tiende a cero como límite.

Movimiento rectilíneo d) La aceleración media am del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + ∆t, durante el cual su velocidad varía de v y v + ∆v, es el cociente ∆v/∆t.

Movimiento rectilíneo e) La aceleración instantánea a del punto P en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el incremento de tiempo tiende aa cero como límite. Matemáticamente se describe como: también

Ejemplo 1 Un punto P se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación x=4t3 + 2t + 5, en donde x está en pies y t en segundos. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cuando t = 3seg. Sol: x=119ft, v=110ft/s, a=72ft/s2

Ejemplo 2 En el ejemplo 1 ¿cuál es la aceleración media durante el cuarto segundo? Sol: 84ft/s2

Ejemplo 3 La aceleración de un punto que se mueve sobre una línea vertical viene dada por la ecuación a = 12t – 20. se sabe que su desplazamiento es s = -10m en el tiempo t = 0 y que su desplazamiento es s = 10m en el tiempo t = 5s. Deducir la ecuación de su movimiento. Integramos a = dv/dt para obtener v = 6t2 – 20t + C1 Integramos una vez más para obtener s = 2t3 – 10t2 + C1t + C2 Ahora sustituimos los valores conocidos para calcular las constantes de integración C1 = 4, C2 = -10 La ecuación del movimiento es: s = 2t3 – 10t2 + 4t - 10

Ejemplo 4 Un automóvil recorre una distancia de 370 km en un periodo de 7 h. determinar la velocidad media del vehículo en km/h y m/s Resp. 52.9km/h, 14.7m/s

Ejemplo 5 Si un cuerpo se mueve con una velocidad de 30 mph durante 6min. Luego a 60mph durante 10 min. Y finalmente a 5mph durante 3min. ¿cuál es la velocidad media en el intervalo de tiempo total? Resp. 61.3ft/s.

Ejercicios La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la ecuación x=t3 – 6t2 -15t + 40 donde x se expresa en ft y t en s. determine: El tiempo al cual la velocidad será cero La posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo La aceleración de la partícula en ese tiempo La distancia recorrida por la partícula desde t=4s a t=6s Respuestas t=5s X=-60ft y ∆x=-100ft A=18ft/s2 ∆x=18ft

ejercicios Una partícula tiene un movimiento en línea recta de acuerdo con la ecuación x=t3 – 3t2 – 5 estando x en m. y t en s. ¿cuál es el desplazamiento mientras varía la velocidad de 8m/s a 40m/s? Resp. ∆x= 41.6m.

Ejercicios El movimiento de una partícula esta definido por la relación x = 8t3 + 30senπ t – 8 donde x y t se expresan en mm y s respectivamente. Determina la velocidad, posición y aceleración de la partícula cuando t=5s Sol: a=240mm/s2 v= 601.54mm/s x= 1000.22mm

ejercicios Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de modo que su desplazamiento medido desde un punto fijo sobre dicha línea viene dado por s = 3t2 + 2t hallar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración al final de los 3s Sol: s= 33ft, v=20ft/s, a=6ft/s2

Mov. Rectilíneo uniformemente acelerado En el caso de aceleración constante a = k son válidas las siguientes fórmulas: En donde vo= velocidad inicial v= velocidad final k= aceleración constante t= tiempo s= desplazamiento

Ejemplo 1 Una bala se dispara con una velocidad de 600m/s si la longitud del tubo del arma es de 750mm ¿cuál es la aceleración media? Sol: 240km/s2

Movimiento curvilineo Es el movimiento a lo largo de una curva plana (trayectoria). La velocidad y aceleración de un punto sobre dicha curva se podrá expresar en a)componentes rectangulares, b) componentes normales y tangenciales y c) componentes radiales y transversales.

y j r i P ẋi v ẏj ɵ

Componentes rectangulares El vector posición r de un punto P sobre una curva en función de los vectores unitarios i y j, según los ejes x e y, respectivamente, se escribe r = xi + yj Como P se mueve, r varía y la velocidad v puede expresarse como

Componentes rectangulares Utilizando dx/dt = ẋ y dy/dt = ẏ y dr/dt =ṙ como símbolos adecuados tendremos v = ṙ = ẋi + ẏj La velocidad escalar del punto es el módulo de la velocidad v Si ɵ es el ángulo que el vector v forma con el eje x podremos escribir