Líneas de Espera. Investigación De Operaciones

2.1 Definiciones, características y suposiciones. El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega  a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Definición.    Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

Costos de los sistemas de colas.  Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

Costo de Servicio. Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales. Sistema de costo mínimo.   Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

Ejemplos de sistemas de colas   Estructuras típicas.   Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas.   Ejemplos de sistemas de colas   Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio Aeropuerto Aviones Aviones en carreteo Pista Pasajeros Sala de espera Avión Depto de bomberos Alarmas de incendio Incendios Depto. De Bomberos. Compañía telefónica Números marcados Llamadas Conmutador Lavado de carros Autos Autos sucios Mecanismo de lavado La corte Casos Casos atrasados Juez Panadería Clientes Clientes con números Vendedor Biografía: www.investigaciondeoperaciones.net

2.2 Terminología y notación. Sistemas de colas: Etiquetas para distintos modelos Notación de Kendall: A/B/c A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos de servicio M: distribución exponencial D: distribución degenerada Ek: distribución Erlang c: Número de servidores

Estado del sistema: número de usuarios que hay en el sistema • Longitud de la cola: número de usuarios en espera de servicio • N(t) = número de usuarios en el sistema en un tiempo t • Pn(t) = probabilidad de que N(t) sea igual a n • ln: tasa media de llegada de nuevos usuarios cuando N(t) = n • mn: tasa de servicio media (combinada) cuando N(t) = n Biografía: Taha H. Investigación de Operaciones, (4a. ed. ). México: Alfa-Omega 1991.

2.3 Proceso de nacimiento o muerte La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegadas de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Nacimiento : Llegada de un nuevo cliente al sistema de colas Muerte : Salida del cliente servido Recordemos que N(t) es el número de clientes que hay en el sistema en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t. Biografía: www. .rincondelvago.com/investigación-de-operaciones

2.4 Modelos Poisson. Suponga el mismo modelo Poisson de la secci’on anterior dado por Yi | θi ∼ Poisson(θi) donde los Yi forman una sucesi’on de variables aleatorias intercambiables y con cada par’ametro θi (i = 1, . . . , n) distribuido como θi | (α, β) ∼ Gamma(α, β) Donde α y β son hiperpar’ametros desconocidos que vienen de distribuciones Gamma tales que α ∼ Gamma(a, b) β ∼ Gamma(c, d) Usualmente los par’ametros a, b, c y d son conocidos y tales que las distribuciones de α y β sean planas o no-informativas. De esta manera, el enfoque bayesiano jer’arquico plantea que se debe hacer la inferencia conjunta para el vector de par’ametros θ = (θ1, . . . , θn) y para (α, beta). Can base en lo anterior, la distribuci ’on a posteriori de los par’ametros de inter’es toma la siguiente forma p(θ, α, β | Y) ∝ n i=1 p(Y | θi)p(θi | α, β)p(α)p(β) ∝ N i=1Eθiθyi iyi!βαΓ(α)θα−1i e−βθie−αbαa−1e−βdβc−1 Biografía: www.matematicasaplicadas.com/ LibroBayes.pdf

2.4.1 Un servidor. Número esperado de clientes en la cola Lq Número esperado de clientes en el sistema Ls Tiempo esperado de espera en la cola Wq Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio Biografía: www.investigaciondeoperaciones.net

24.2 Múltiples servidores. M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio Biografía: www.wikipedia.com/investigaciondeoperaciones.com

2.5 Análisis de costos El análisis de costo es simplemente, el proceso de identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo la labor o proyecto del voluntario. El análisis de costo determina la calidad y cantidad de recursos necesarios. Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en términos de dinero. Con frecuencia, los voluntarios suponen que cuentan con los recursos necesarios y que el costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis. Sin embargo puede ocurrir que, una vez que el proyecto esté marchando los voluntarios se den cuenta de que los utencilios, el equipo, los materiales y la mano de obra especializada que se requiere para completarlo no están disponibles. También puede ocurrir que se haya completado el proyecto, (en este caso un pozo de agua) y todos los participantes han ignorado la necesidad de adquirir los repuestos necesarios para la bomba. Varios meses despúes de finalizar el proyecto la bomba falla y no se tienen los repuestos adecuados para arreglarla. El análisis de costo no sólo ayuda a determinar el costo del proyecto y su mantenimiento sino que también sirve para determinar si vale o no la pena llevarlo a cabo.

DESCRIPCION El análisis de costo determina la cantidad y la clase de: 1) materiales/dinero; y 2) número de voluntarios y personal necesarios para poder completar el proyecto. Para estimar la cantidad total de recursos necesarios, el voluntario deberá considerar cada una de las tareas que han de ejecutarse (Ver Capítulo III. Planificación de las Actividades). Deberá incluir la cantidad de horas que considera necesarias para cada una de las tareas. Lo mismo deberá hacerse con respecto al tipo y cantidad de materiales indicados para cada tarea. Una vez concluído este análisis, el voluntario deberá desarrollar un presupuesto especificando el número de personas y los materiales (Ver el ejemplo que damos a continuación). El presupuesto podría incluír factores que no pueden ser medidos en términos de dinero. Por ejemplo, los servicios prestados por los habitantes de la comunidad y los de los voluntarios. Estos factores se expresarán en días de trabajo y pueden excluirse de la Columna 1. Sin embargo, la cantidad de servicios prestados deberá incluirse para poder asegurarnos que el proyecto cuenta con suficientes voluntarios (no remunerados) entre los miembros de la comunidad. BIBLIOGRAFIA: Investigación de operaciones Autores: Taha, Hamdy A. Editorial: Pearson