7 La famosa sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,... (cada término es la suma de los dos anteriores), aparece en la naturaleza y se utiliza con mucha frecuencia en el diseño artístico. Progresiones INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

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Esquema de contenidos Progresiones Sucesiones Término general Sucesiones recurrentes Progresiones aritméticas Término general Suma de n términos Progresiones geométricas Término general Producto de n términos Suma de n términos Suma de infinitos términos Interés compuesto Fórmula fundamental Plazos no anuales Planes de ahorros

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28 € en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Los sueldos mensuales de Beatriz forman una progresión aritmética con a1 = 500 € y diferencia 300 €. ¿Puedes calcular su sueldo anual? SIGUIENTE

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28 € en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Los sueldos mensuales de Beatriz forman una progresión aritmética con a1 = 500 € y diferencia 300 €. ¿Puedes calcular su sueldo anual? Para aplicar la fórmula de la suma, , necesitas conocer el término a12. Calcúlalo. SIGUIENTE

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28 € en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Para aplicar la fórmula de la suma, , necesitas conocer el término a12. El sueldo de diciembre será a12 = a1+ (n – 1) • d = 500 + 11 • 300 = 3.800 €. Así, pues, Beatriz cobra al año: SIGUIENTE 25.800 €

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28€ en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Beatriz cobra al año: 25.800 € Los sueldos mensuales de César constituyen una progresión geométrica de razón 2. Si consigue sobrevivir los primeros meses con tan escaso sueldo, su ganancia anual vendrá dada por la fórmula: SIGUIENTE

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28 € en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Beatriz cobra al año: 25.800 € Los sueldos mensuales de César constituyen una progresión geométrica de razón 2. Si consigue sobrevivir los primeros meses con tan escaso sueldo, su ganancia anual vendrá dada por la fórmula: SIGUIENTE

Crecimientos aritméticos y geométricos Las progresiones aritméticas de diferencia positiva van aumentando gradualmente de modo constante. Las progresiones geométricas de razón mayor que 1 aumentan de un modo acelerado. Una magnitud que crece en el tiempo acelederadamente se dice que crece de modo exponen-cial o geométrico. Una magnitud que crece de modo constante se dice que tiene un crecimiento lineal o aritmético. El problema siguiente ilustra estos crecimientos. Alberto, Beatriz y César consiguen un trabajo para un año. A Alberto le pagan 2.000 € al mes. Beatriz empieza cobrando 500 € en enero, 800 € en febrero, 1.100 € en marzo y así sucesivamente. César cobra 7 € en enero, 14 € en febrero, 28 € en marzo y así sucesivamente. ¿Cuál es el mejor sueldo anual? El sueldo anual de Alberto es de 2.000 € • 12 = 24.000 €. Beatriz cobra al año: 25.800 € Los sueldos mensuales de César constituyen una progresión geométrica de razón 2. La suma de sus doce sueldos será, pues: 28.665 € Así, pues, César será el mejor pagado, luego, Beatriz y, finalmente, Alberto.

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. 7 7 SIGUIENTE

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. La suma que hemos de calcular es: 7 + 14 + 21 + 28 + ... Se trata de una progresión aritmética de diferencia 7. 7 7 Hemos de aplicar la fórmula: . Conocemos a1 = 7, pero no conocemos ni n ni an, que es el último múltiplo de 7. ¿Puedes hallarlo? SIGUIENTE

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. Hemos de aplicar la fórmula: . Conocemos a1 = 7, pero no conocemos ni n ni an, que es el último múltiplo de 7. 7 7 Si dividimos 1.000 entre 7, el cociente es 142 y el resto es 6. Por tanto el último múltiplo de 7 es 1.000 – 6 = 994. ¿Cuántos elementos se suman? SIGUIENTE

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. Hemos de aplicar la fórmula: . Conocemos a1 = 7, pero no conocemos ni n ni an, que es el último múltiplo de 7. 7 7 Si dividimos 1.000 entre 7, el cociente es 142 y el resto es 6. Por tanto el último múltiplo de 7 es 1.000 – 6 = 994. ¿Cuántos elementos se suman? Como an= a1+ (n – 1)•d, se tiene: 7+ (n – 1)• 7 = 994. ¿Cuánto vale n? SIGUIENTE

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. Hemos de aplicar la fórmula: . Conocemos a1 = 7, pero no conocemos ni n ni an, que es el último múltiplo de 7. 7 7 Si dividimos 1.000 entre 7, el cociente es 142 y el resto es 6. Por tanto, el último múltiplo de 7 es 1.000 – 6 = 994. ¿Cuántos elementos se suman? Como an= a1+ (n – 1)•d, se tiene: 7+ (n – 1)• 7 = 994. ¿Cuánto vale n? (n – 1)• 7 = 994 – 7 = 987. Así: n – 1 = 141 y n = 142. Como tenemos ya todos los elementos podemos aplicar la fórmula de la suma. SIGUIENTE

Suma de elementos de una progresión aritmética Vamos a calcular una suma de términos de una progresión aritmética de la que no conocemos, en principio, ni el primer término ni el último. Suma todos los múltiplos de 7 menores que 1.000. Hemos de aplicar la fórmula: . Conocemos a1 = 7, an= 994 y n = 142. 7 7 1.001•71 = 71.071

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? Es fácil perderse en este enunciado si no hacemos un esquema del mismo. SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Simbolizamos cada pareja con un único círculo. En la lectura inicial, Fibonacci dice que tiene una pareja de conejos que crían al llegar a los dos meses de edad y de ahí en adelante, proporcionando una pareja cada mes. Las nuevas parejas que nacen repiten el proceso de la primera. ¿Cuántas parejas de conejos se tienen en los meses sucesivos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Como puedes comprobar, a partir del tercero cada término se obtiene sumando los dos anteriores: 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 ¿Puedes calcular los siguientes términos? SIGUIENTE

Sucesiones recurrentes Cuando los términos de una sucesión se calculan a partir de los anteriores, se dice que la sucesión es recurrente, como ocurre con la sucesión de Fibonacci. Como puedes comprobar, a partir del tercero cada término se obtiene sumando los dos anteriores: 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 La sucesión sería así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... Comprueba con tu calculadora que el cociente de un término por el anterior: , , , , , , ,... va acercándose a 1,618034..., el llamado Número de Oro.

Suma de todos los términos de una progresión geométrica con |r|<1 ¿Puedes calcular una suma que tiene infinitos sumandos? En algunos casos, sí se puede. Uno de ellos es cuando se suman infinitos todos los términos de una progresión geométrica de razón menor que 1. Calcula la suma Vamos a calcular la suma gráficamente. SIGUIENTE

Suma de todos los términos de una progresión geométrica con |r|<1 Calcula la suma Vamos a calcular la suma gráficamente. 1 1/2 1/2 1/4 1/2 1/4 1/8 Los rectángulos y cuadrados de área 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64..., al agruparse como se ve en la secuencia, van rellenando por completo el cuadrado de lado 1, que será, pues el resultado de la suma pedida. 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/2 1/4 1/8 1/16 SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Si depositamos, por ejemplo, 100 €, en un banco al 3 % de interés anual, al cabo de un año tendremos, es claro, 103 €, es decir, 100 ·1,03. Si dejamos ese dinero un año más, tendremos 106,09 €, que es el producto 103 ·1,03, o mejor, 100 ·1,032. Si, en general, lo depositamos t años, tendremos al final, 100 ·1,03t euros. Por tanto, si la cantidad depositada es C, el interés anual es el r % y el tiempo t años se tiene el capital final, Cf, siguiente: SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Si la cantidad depositada es C, el interés anual es el r % y el tiempo t años se tiene el capital final, Cf, siguiente: Depositamos a comienzos de año 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años? ¿Y si el pago de intereses fuese trimestral? SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Si la cantidad depositada es C, el interés anual es el r % y el tiempo t años se tiene el capital final, Cf, siguiente: Depositamos a comienzos de año 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años? ¿Y si el pago de intereses fuese trimestral? Depositamos a comienzos de año 5.000 € en un banco al 4 % de interés ompuesto anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años? ¿Y si el pago de intereses fuese trimestral? En el primer caso, C = 5.000 €, r = 4 % y t = 3 años. Basta aplicar la fórmula. SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Si la cantidad depositada es C, el interés anual es el r % y el tiempo t años se tiene el capital final, Cf, siguiente: Depositamos a comienzos de año 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años? ¿Y si el pago de intereses fuese trimestral? En el primer caso, C = 5.000 €, r = 4 % y t = 3 años. Basta aplicar la fórmula. = 5.000 ·1,043 = 5.000 ·1,124864 = 5.624,32 € SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Si la cantidad depositada es C, el interés anual es el r % y el tiempo t años se tiene el capital final, Cf, siguiente: Depositamos a comienzos de año 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años? ¿Y si el pago de intereses fuese trimestral? En el segundo caso, C = 5.000 €. Como el año tiene 4 trimestres, en lugar de t se pone t ·4 y en lugar de r pone r / 4. Ahora tendremos un capital final superior. = 5.000 ·1,0112 = 5.000 ·1,126825... = 5.634,13 € SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Otra frecuente operación financiera es un plan de ahorros, que consiste en depositar una cantidad fija cada año para formar un capital final de cierto tamaño. El interés anual es el mismo para todas las cantidades ingresadas. SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Otra frecuente operación financiera es un plan de ahorros, que consiste en depositar una cantidad fija cada año para formar un capital final de cierto tamaño. El interés anual es el mismo para todas las cantidades ingresadas. La familia de Héctor decide ahorrar para hacer un viaje trasatlántico como premio al finalizar sus estudios. Para ello, ingresan 1.000 € cada año, durante 6 años en una Caja de Ahorros que les paga el 5 % anual. ¿Qué dinero tendrán al finalizar el sexto año? SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Otra frecuente operación financiera es un plan de ahorros, que consiste en depositar una cantidad fija cada año para formar un capital final de cierto tamaño. El interés anual es el mismo para todas las cantidades ingresadas. La familia de Héctor decide ahorrar para hacer un viaje trasatlántico como premio al finalizar sus estudios. Para ello, ingresan 1.000 € cada año, durante 6 años en una Caja de Ahorros que les paga el 5 % anual. ¿Qué dinero tendrán al finalizar el sexto año? Has de aplicar la fórmula del interés compuesto a cada cantidad en cada periodo diferente y luego sumar las cantidades obtenidas. Más breve: puedes hacerlo directamente aplicando la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica: SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Otra frecuente operación financiera es un plan de ahorros, que consiste en depositar una cantidad fija cada año para formar un capital final de cierto tamaño. El interés anual es el mismo para todas las cantidades ingresadas. La familia de Héctor decide ahorrar para hacer un viaje trasatlántico como premio al finalizar sus estudios. Para ello, ingresan 1.000 € cada año, durante 6 años en una Caja de Ahorros que les paga el 5 % anual. ¿Qué dinero tendrán al finalizar el sexto año? Has de aplicar la fórmula del interés compuesto a cada cantidad en cada periodo diferente y luego sumar las cantidades obtenidas. Más breve: puedes hacerlo directamente aplicando la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica: En nuestro caso, a1 = 1.000, r (razón) = 1,05. SIGUIENTE

Operaciones financieras Los bancos y cajas de ahorro son las entidades claves financieras, aquellas cuya “materia prima” de trabajo es el dinero. El interés compuesto es el concepto matemático en que se basan casi todas sus actuaciones. Otra frecuente operación financiera es un plan de ahorros, que consiste en depositar una cantidad fija cada año para formar un capital final de cierto tamaño. El interés anual es el mismo para todas las cantidades ingresadas. La familia de Héctor decide ahorrar para hacer un viaje trasatlántico como premio al finalizar sus estudios. Para ello, ingresan 1.000 € cada año, durante 6 años en una Caja de Ahorros que les paga el 5 % anual. ¿Qué dinero tendrán al finalizar el sexto año? En nuestro caso, a1 = 1.000, r (razón) = 1,05. = 1.000 · 6,801928 = 6.801,93 €

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Actividad: Formando y representando sucesiones Dirección: http://www.shodor.org/interactivate/activities/sequencer/ En este enlace se pueden calcular los términos de todas las progresiones aritméticas y geométricas que deseemos y de algunas otras de similar complejidad. También podemos representarlas gráficamente. Para practicarlo, sigue este enlace.