Problemas para pensar un poco Recopilados y adaptados por: Ricardo Ramírez Martínez Y Alberto Rojas Hernández Trimestre 05P Mayo de 2005

Introducción a la serie de ejercicios ¿Alguien en nuestro tiempo puede comprometerse a negar la necesidad perseverante de una amplia difusión de las matemáticas? Los conocimientos matemáticos elementales deben penetrar en nuestra enseñanza y educación desde la más tierna infancia. Al mismo tiempo, es obvio que la independencia mental, la reflexión y el ingenio no se pueden “inculcar” ni “meter” en ninguna cabeza. Los resultados son seguros sólo en aquellos casos, cuando la introducción en el campo de las matemáticas transcurre de una forma fácil y agradable, basándose en objetos y ejemplos del ambiente cotidiano, seleccionados con el ingenio e interés correspondiente. Extracto del prefacio del Libro “En el Reino del Ingenio” de E. I. Ignátiev 1908.

Problema 1. Una hoja de papel es dividida en dos, y una de las mitades obtenidas es, a su vez, dividida por la mitad, etc. ¿Cuántas divisiones serán necesarias para llegar a las dimensiones de un átomo? Sugerencia: suponga que la hoja de papel pesa 1 gramo, que la masa del átomo es gramos y que .

Problema 2. Con tres números nueve (9) encontrar el número más grande que se pueda escribir con ellos. ¿Qué tan grande es este número? Con tres números dos (2) hallar el número más grande que se pueda escribir con ellos sin emplear signo alguno. Observación: este ejemplo enseña que en matemáticas puede resultar peligroso servirse de analogías.

Problema 3. Cuatro hermanos tienen $45 (45 pesos). Si el dinero del primero fuera aumentado en $2, el del segundo reducido en $2, el del tercero se duplicase y el del cuarto se redujera a la mitad, todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Ahora bien, si finalmente quisieran repartirse los $45 de manera que cada uno de los hermanos se llevara la misma cantidad de dinero, ¿qué cantidad tomaría cada quien? ¿Esto coincide con la respuesta anterior?¿Por qué? Observación: Normalmente este tipo de problemas, en el mundo real, puede requerir una condición de conservación.

Problema 4. Un viajero –a caballo– se acerca a tres muchachos que discuten y quieren partir un caballo con un hacha. El viajero desmonta y les pregunta el porqué quieren matar de esa forma al animal. Los muchachos son tres hermanos que al morir su padre recibieron de herencia 17 caballos. En su testamento el padre (muy aficionado a los acertijos matemáticos) escribió: “...de mis caballos dejo la mitad a mi hijo mayor, la tercera parte al de enmedio y la novena parte al menor...” Los hermanos le explican entonces que, para hacer una distribución equitativa y cumplir la voluntad de su padre, tienen que dividir físicamente uno de los caballos. (¿Por qué) continúa en la siguiente página

Problema 4 (continuación). El viajero les pide que le permitan mostrar cómo hacer la distribución de los caballos sin tener que matar ni dividir uno de ellos, sumando su caballo para tal fin. Después de hacer la distribución el viajero montó en su caballo y continuó su camino, dejando contentos y satisfechos a los hermanos con su herencia. ¿Qué hizo el viajero para hacer la distribución de los caballos, cumpliendo la voluntad del padre de los muchachos, y cuántos caballos tomó cada uno de los hermanos? ¿Este acertijo tiene relación con el problema 3 de esta serie? En su caso, explique cuál es esta relación.

Problema 5. El padre tiene 32 años; el hijo, 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre diez veces mayor que la del hijo?

Problema 6. Hallar un número de dos cifras que tenga las siguientes propiedades: * La cifra de las decenas debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las unidades. * Si ese mismo número se escribe invirtiendo el lugar de sus cifras y se le resta el número buscado, se obtiene 27.

Problema 7. Tenemos dos soluciones de agua oxigenada: al 30% una, y la otra al 3%. Debemos mezclarlas de tal forma que obtengamos una solución al 12%. Describir un procedimiento que permita obtener esta solución. Si se quiere preparar 500 mL de la solución al 12% y sólo se tienen 300 mL de cada una de las soluciones de partida, ¿será posible preparar la cantidad requerida? ¿Por qué?

Problema 8. ¿Cómo adivinar el día y el mes de nacimiento de alguien? Propóngale a un compañero que escriba en una hoja de papel el día del mes en que nació (por ejemplo, si nació el 10 de junio debe escribir el 10) y que haga las operaciones siguientes: que duplique el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que al total le añada el número de orden del mes en que nació (para el ejemplo elegido, debe sumar el 6). Él le dice el resultado y usted le dice a él la fecha en que nació (día y mes). ¿Cómo puede usted hacer esto?

Los ejercicios mostrados en esta presentación han sido tomados de diferentes fuentes, aunque muchos son clásicos para introducir la matemática en diferentes niveles educativos, muchas veces como acertijos. Diseño del fondo tomado de Marco Ávalos http://www.experimentalworkshop.com/hdg_index.html