ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Análisis de tensiones Capítulo 3. ANÁLISIS DE DEFORMACIONES Concepto de deformación Matriz de deformaciones: Significado de sus componentes Ecuaciones de compatibilidad Analogías entre tensiones y deformaciones

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Deformaciones producidas por el esfuerzo normal

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Deformaciones producidas por el esfuerzo cortante

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Concepto de deformación: Se denomina deformación a la variación de la distancia relativa entre los puntos de un sólido elástico como consecuencia de una solicitación externa. Sea P un punto del sólido elástico inicialmente indeformado y Q un punto del entorno infinitesimal de P, tal que: Analicemos la deformación en el entorno del punto P a través de la transformación que sufre dr bajo la acción de una solicitación externa. Cuando el sólido se somete a una solicitación externa los puntos P y Q pasan a una nueva posición, P’ y Q’. Una vez producida la deformación el entorno del punto P’ estará representado por un nuevo vector dr’ Analizando dicho vector en función de dr podremos estudiar la deformación producida.

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Antes de proceder al estudio de la deformación veamos algunas definiciones: Se denominan vectores desplazamiento, a los vectores que unen las posiciones inicial y final de dichos puntos: Cuando se produce la deformación los puntos del sólido elástico pasan a ocupar otra posición Las funciones u, v y w: u = u (x,y,z) v = v (x,y,z) w = w (x,y,z) Dependen de la posición del punto en el espacio Se supone que son continuas y derivables en el espacio en el que están definidas Se supone que tanto ellas como sus derivadas son infinitesimos de primer orden (Teoría de los pequeños desplazamientos y deformaciones)

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Teniendo en cuenta que el entorno del punto P’ es infinitesimal, podemos expresar los desplazamientos del punto Q, dQ (u’,v’,w’), en función de los del punto P, dP (u,v,w), y de sus derivadas primeras mediante un desarrollo en serie de Taylor: Matriz deformación Matriz giro

= ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Deformaciones en el entorno de un punto El vector dr’ que representa la transformación en el entorno del punto P, se puede expresar en función de la posición inicial (dr) y de los vectores desplazamiento: Movimiento de sólido rígido Translación + Giro = Deformación Cambio de dirección Cambio de módulo =

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Matriz de Deformación. Significado de sus componentes Deformaciones lineales o longitudinales En la dirección del eje x En la dirección del eje y En la dirección del eje z

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Matriz de Deformación. Significado de sus componentes Deformaciones angulares

ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Matriz de Deformación. Criterio de Signos Deformaciones lineales Deformaciones angulares

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES Conocido el vector desplazamiento d se pueden obtener las componentes de la matriz de deformación fácilmente: Sin embargo, para que a partir de las componentes de la matriz de deformación obtengamos unos desplazamientos físicamente posibles, se deben cumplir ciertas condiciones de integrabilidad o compatibilidad, que serán necesarias y suficientes:

ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES Al igual que las tensiones, las deformaciones son magnitudes de carácter tensorial, es decir, para un mismo punto P del continuo, la deformación depende de la dirección que se considere, se denomina: Vector deformación unitaria, e, en una dirección definida por el vector unitario u (a, b, g), normal a un plano p, a la transformación: Las proyecciones de dicho vector sobre las direcciones normal y tangencial al plano, darán lugar a las componentes intrínsecas: Componente intrínseca normal o deformación longitudinal unitaria Componente intrínseca tangencial o deformación transversal unitaria

ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES Direcciones principales de deformación: Son aquellas en las que la deformación sólo produce cambio de módulo y no de dirección (la componente tangencial del vector deformación es nula): e1 e2 e3 uI uII uIII En la referencia principal, la matriz de deformaciones es diagonal: Existen tres invariantes, el primero de ellos representa la variación unitaria de volumen:

ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES El estado de deformaciones en el entorno de un punto puede representarse gráficamente por medio de los Círculos de Mohr en deformaciones: