LUZ DAZA PROFESORA MERLY MANQUILLO ALUMNA 10:01

 ¿Qué es una conica?  Se denomica conica a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vérticeelipseparábolahipérbolacono

 Cuando hablamos de las curvas cónicas nos estamos refiriendo a la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Pero la pregunta es ¿por qué se llama cónicas a dichas curvas. La respuesta es bien sencilla a la par que obvia: Estas curvas son las que resultan de cortar un cono por un plano. El que salga una u otra depende de con que ángulo corte el plano al cono.  Vamos a verlo con algunos dibujos.  La circunferencia es la curva que resulta al cortar el cono con un plano perpendicular a su eje.

 La elipse resulta al inclinar el plano, sin llegar al ángulo que forma la generatriz (el borde) del cono.

 Sale al cortar el cono con un plano paralelo a la generatriz del cono.

 Por último, si el ángulo del plano es todavía mayor, la curva resultante es la hipérbola.Como se puede ver, la hipérbola es la única curva que tiene dos ramas puesto que es la única que corta a las dos partes del cono.

 Conica circunferencial: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.puntosplanoequidistancentro  El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

 Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.  Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. 1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.conogeneratriz 1esferoide  La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol. 2EuclidesApolonio de PergeKeplerMarteSolHalley 2

 Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.  Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, 2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. 3Menecmoduplicación del cubo 2ProcloEratóstenes 3  Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, 4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.Apolonio de Perge 4tangentes  Una hipérbola (del griego ὑ περβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. 1sección cónicacurvaconogeneratriz 1

 Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.  En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. 1 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.matemáticasección cónicaconogeneratriz 1lugar geométricoplanofocogeometría proyectivaproyectividadsemejanza  La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.ecuaciones cuadráticasgravedad  en la historia podemos saber que La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, 2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. 3Menecmoduplicación del cubo 2ProcloEratóstenes 3  Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, 4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de lastangentes a secciones cónicas.Apolonio de Perge 4tangentes  Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola Apolonio de Perge Apolonio de Perge  Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada porArquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.Arquímedescuadratura del círculo

 Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.astronomíaley de gravitación universal  También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.aerodinámicaindustrialformas  DESCARTES ( ), desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones, lo que dio origen a la Geometría Analítica.  Las cónicas pueden representarse por ecuaciones cuadráticas en dos variables.  El hecho que todas las ecuaciones cuadráticas representen secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt ( ).

 Fue entonces cuando Galileo Galilei ( ) probó que los proyectiles se mueven según trayectorias parabólicas  El astrónomo Johannes Kepler ( ) descubrió que las órbitas que describen los planetas al girar alrededor del sol son elipses que tienen al sol en uno de sus focos.

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 La gran mayoria de estas fotografías fueron tomadas en el centro historico de nuestra ciudad en lugares como el pueblito patojo, el puente del humilladero, el parque caldas, la catedral; en Popayán encontramos muchas parábolas pero es muy difícil encontrar hipérbolas por eso las fotografías se asemejan a lo que son las hipérbolas