Por Jorge Sánchez COMBINATORIA

Sí una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, es decir, que no se pueden tomar simultáneamente, el número posible de elecciones es igual a la suma de las posibilidades de cada forma. PRINCIPIO DE LA SUMA La carta de un restaurante incluye 8 platos de pasta, 6 platos de carne y 5 platos de pescado. Queremos comer un solo plato. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir? Si una elección tiene que hacerse de varias elecciones independientes entre sí, el número total de elecciones es el producto de las posibilidades de cada elección. PRINCIPIO DEL PRODUCTO La carta de un restaurante incluye 8 primeros platos, 6 segundos y 5 postres. Queremos comer un plato de cada tipo. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir?

PAPIRO DE RHIND Fue escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 A.C. Consta de 87 problemas. El problema 79 es de combinatoria.

As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives. Each wife had seven sacks. Each sack had seven cats. Each cat had seven kits. Kits, cats, sacks, and wives. How many were there going to St. Ives? St. Ives Mother Goose Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives

HombresEsposasSacosGatosGatitos

Pero la respuesta al problema es 1. Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives En realidad, a St. Ives sólo iba yo.

FACTORIAL Y NÚMEROS COMBINATORIOS

COMBINATORIA La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.

COMBINATORIA ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición Permutación Sólo uno Variación con repetición Variación Combinación con repetición Combinación

PERMUTACIONES Tenemos n elementos. Debemos usarlos todos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 10 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Tenemos un elemento repetido n 1 veces, otro repetido n 2, …, otro repetido n k. n 1 + n 2 +…+ n k =m. Debemos usarlos todos. Si fuesen distintos El mismo grupo aparece repetido Lo mismo para el resto de repeticiones

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

Ejemplo 4: ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) podemos construir utilizando todas las letras de MISSISSIPPI ? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo).   DDADADDADDA D

Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo). ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

VARIACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Pupitre 1 Pupitre 2 Pupitre 3 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 6 Pupitre 7 Pupitre 8 Pupitre 9 Pupitre 10 Pupitre 3 Pupitre 7 Pupitre 1 Pupitre 8 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 10

Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación

Ejemplo 7: ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

VARIACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. Podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

Ejemplo 8: ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición

Ejemplo 9: ¿Cuantos décimos de la lotería nacional hay? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición

x Ejemplo 10: ¿Cuantos boletos distintos de la quiniela se pueden rellenar? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición x x x x x x x x x x x x x x x

COMBINACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. Si importara el orden tendríamos Pero como no importa cada grupo está repetido

Ejemplo 11: ¿Cuantos boletos distintos de la lotería primitiva se pueden rellenar? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No x x x x x x Combinación

Ejemplo 12: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 5 cartas de una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Combinación

COMBINACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Usamos n elementos. Podemos repetir. Del 1 er elemento usamos 11111…110 Del 2º elemento usamos 11111…110111…110…0 Del m-ésimo elemento usamos 11111…110111…110…011…1 Hay n unos y m grupos de unos  Hay n unos y m-1 ceros

Ejemplo 13: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 4 entradas de cine entre 8 personas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No De las 8 personas he de elegir a 4, pero puedo repetir. Combinación con repetición

Problema: ¿De cuántas maneras distintas se puede conseguir una doble pareja al repartir 5 de las 52 cartas de una baraja de póker? 1ª pareja2ª parejanº distinto

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

Números triangulares Números tetraédricos Números pentagonales

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA posibles caminos

Halla probabilidad de que caiga en el centro

BINOMIO DE NEWTON

Ejemplo: