Óptica PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Una onda monocromática de longitud de onda , amplitud E0, linealmente polarizada según el eje Z, y que se propaga en la dirección del eje Y, incide normalmente sobre una película delgada de caras planoparalelas, espesor d e índice de refracción n. Al atravesar la lámina, la onda sufre múltiples reflexiones entre sus caras y como resultado se producen interferencias. Se pide: a) Determinar el desfase  que introduce el espesor de la lámina entre dos ondas consecutivas que interfieren. b) Demostrar que la intensidad reflejada después de múltiples reflexiones es donde R es la reflectancia de la lámina, y que la intensidad transmitida a través de ella es siendo I0 la intensidad incidente. c) Representar gráficamente la intensidad transmitida frente a  /2 para los siguientes valores de reflectancia: R = 0.02, R = 0.10, R = 0.40 y R = 0.80. d) Demostrar que la anchura de un pico de transmisión medida a la mitad de la altura del pico, cuando R → 1, está dada por:

Reflexiones y transmisiones sucesivas en una lámina de caras paralelas PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica Reflexiones y transmisiones sucesivas en una lámina de caras paralelas (Incidencia normal, los rayos se representan inclinados para claridad del esquema) CAMPO REFLEJADO CAMPO TRANSMITIDO Coeficientes de reflexión de amplitud r se refiere a la interfase aire → lámina r’ se refiere a la interfase lámina → aire Coeficientes de transmisión de amplitud 2 4 6 t se refiere a la interfase aire → lámina t’ se refiere a la interfase lámina → aire 1 3 5 Relaciones de Stokes El camino óptico seguido por la onda dentro de la película, entre dos ondas que interfieren (dos consecutivas, pares o impares) es n·2d, por lo que el desfase es: Y Z

Nosotros tomaremos como referencia la onda 0. PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica Campo reflejado El campo reflejado para cada una de las sucesivas reflexiones (0, 2, 4, 6…) es la suma de una serie de términos, cada uno de la forma donde j es la unidad imaginaria,  es la frecuencia angular, y el desfase debe ser medido respecto a una onda de referencia. Nosotros tomaremos como referencia la onda 0. Además, por simplicidad prescindiremos al escribir lo que sigue del término temporal e-j t, ya que dicho término será factor común de todos los sumando, y cuando haya que calcular las intensidades multiplicando por el conjugado complejo, el producto de ambos dará 1. 2 4 6 Cada reflexión sucesiva recorre dentro de la lámina una distancia extra 2d, por lo que el desfase de cada una aumenta en  respecto a la precedente. De acuerdo con la relación de Stokes r = -r’ La serie entre paréntesis es una progresión geométrica con las siguientes características Como el factor de reflexión r < 1, se verifica que y por lo tanto la suma n-ésima es

PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica Para tener en cuenta la contribución al campo reflejado de infinitas reflexiones tomamos el límite Ec. Stokes t t’ = 1-r2 Intensidad reflejada Teniendo en cuenta que Además:

Como antes, nosotros tomaremos como referencia la onda 0. PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica Campo transmitido El campo reflejado para cada una de las sucesivas reflexiones (1, 3, 5…) es la suma de una serie de términos, cada uno de la forma donde j es la unidad imaginaria,  es la frecuencia angular, y el desfase debe ser medido respecto a una onda de referencia. Como antes, nosotros tomaremos como referencia la onda 0. 1 3 5 Cada transmisión sucesiva recorre dentro de la lámina una distancia extra 2d, por lo que el desfase de cada una aumenta en  respecto a la precedente. El campo transmitido en 1 ha recorrido una vez el espesor de la lámina, lo que en términos de desfase significa  /2 (r = -r’) La serie entre paréntesis es una progresión geométrica con las siguientes características: Como el factor de reflexión r < 1, se verifica que y por lo tanto la suma n-ésima es Para infinitas transmisiones

Intensidad transmitida PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica Intensidad transmitida Ec. Stokes t t’ = 1-r2 r2 = R Teniendo en cuenta que y que Sumando las intensidades transmitida y reflejada se obtiene: Representación gráfica de It / I0 frente a  /2 Los máximos de la función de transmisión aparecen cuando

REPRESENTACIÓN GRÁFICA PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica REPRESENTACIÓN GRÁFICA 2 4 -2 -4 R = 0.02 R = 0.10 R = 0.40 R = 0.80

PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS. Óptica La anchura  a mitad de altura de un pico de transmisión, esto es, cuando R→1 y  <<, puede calcularse como sigue:  Cuanto más pequeño sea , mayor es la resolución de la película delgada como interferómetro (tipo Fabry-Perot)