Funciones

Funciones como relaciones Básicamente las funciones son relaciones. ¡El mundo está lleno de relaciones ! Lo bueno que eres en una tarea -jugando a los vídeo-juegos, bailando o jugando al baloncesto- depende de cuánto tiempo y esfuerzo emplees en practicarlo …

Lo lejos que llegues corriendo depende de lo rápido que corras y del tiempo que corras a esa velocidad

Comprar zapatos nuevos depende de que tus padres tengan dinero. Que tus padres tengan dinero depende de que tengan un trabajo Que tus padres tengan un trabajo depende de lo bien que hagan su trabajo y de que no les afecte la crisis

Matemáticos y científicos intentan descubrir las relaciones existentes en la naturaleza porque así comprenden cómo funcionan las cosas y pueden hacer nuestras vidas mejores.

Comprender la relación entre gasolina, aire y combustión es lo que nos permite hacer que un coche funcione

Comprender la relación entre el calor y la supervivencia de una bacteria nos permite comer sin peligro

Comprender que los electrones fluyen del polo positivo al negativo nos permite tener mp3, teléfonos y televisión

Las matemáticas y, en especial las funciones, son el lenguaje con el que expresamos estas relaciones, así que … ¡las funciones nos ayudan a entender cómo funciona nuestro mundo!

Funciones como máquinas Otra forma de entender una función es como una máquina. Una máquina tiene una entrada (la materia prima) y una salida (el producto). Entrada: la materia prima (el café) Salida: el producto (una taza de café)

Hay una relación entre la entrada y la salida: La salida depende de la entrada. La máquina recibe la entrada y la transforma en la salida. Dependiendo de la entrada que introduzcas, tendrás diferente salida.

Puedes pensar en una función como en una caja con una regla especial…algo se mete en la caja…y algo sale de la caja. Empecemos con la caja de las capitales de Europa. La regla: Saca la capital del país (sólo los miembros de la Comunidad Económica Europea nos sirven). Entrada salida Saca la capital del país introducido Francia París Alemania Berlín Saca la capital del país introducido

¿Qué tal si intentamos esta otra? China Uyyyyyy…China no es un miembro de la Comunidad Económica Europea. Entonces, ¡no la podemos introducir en la caja! Vamos a ver algunos términos matemáticos oficiales: Lo que se introduce en la caja (la entrada) se llama dominio Lo que se extrae de la caja (la salida) se llama recorrido Saca la capital del país introducido

Francia, Alemania, España Grecia, Rumanía… París Berlín Madrid Atenas, Bucarés… dominio recorrido Dominio cosillas que van en… recorrido cosillas que salen de Si olvidas el orden, recuerda que es el alfabético D R Entonces, para esta caja… Dominio = todos los países que son miembros de la Comunidad Económica Europea (China no está en el dominio) Recorrido = todas las ciudades que sean capitales de un miembro de la Comunidad Económica Europea Saca la capital del país introducido

Intentemos alguna caja con números dentro: La regla: Suma 1 +1 ¿Qué podemos meter en esta caja? Podemos meter todos los números…incluso asquerosillos números irracionales como Dominio= todos los números reales Recorrido= todos los números reales +1

Intentemos esta caja: La regla: ¡elévalo al cuadrado! 4 -3 ¿Cuál es su dominio? Puedo meter todo tipo de número, así que los reales. ¿Cuál es su recorrido? Sólo obtengo números positivos, así que los reales positivos

Una más: La regla: Halla el triple de la entrada y entonces réstale cinco ¿Cuál es el dominio y el recorrido para esta función? Dominio= todos los números reales = en notación de intervalos Recorrido=

Por último: La regla: Haz la raíz cuadrada y entonces suma cuatro ¡Ten cuidado! ¡Sólo manejas números reales, mira a ver cómo te apañas! ? ? Dominio = Los reales positivos (no existe la raíz de un número negativo) Recorrido = Los reales positivos (si tomamos únicamente el signo positivo de la raíz) ¿Cuál es el dominio y el recorrido para esta función?

Veamos la última caja: La regla: A dos lo divides por el número que entra en la caja: 2/( ) ¿Cuál es el dominio y el rango para esta función? Dominio = ¿Todos los reales? 0 Recorrido = Todos los reales

¡Yo no sé tú, pero yo estoy fartuca de dibujar cajas! ¿Puedo decir lo mismo con un lenguaje simbólico de manera más abreviada? Pues afortunadamente, tenemos el lenguaje algebraico.

¡Vamos a traducir nuestras cajas y máquinas a lenguaje algebraico! f (x) = y entrada salida caja Se lee efe de x igual a y

f ( ) x y ¡Comparemos simbología! ¿y la regla? ¡El álgebra es súper económica para representar!

¿Qué nos falta? Nos falta expresar la regla en lugar de en castellano, en lenguaje algebraico. ¡Veamos cómo se hace! La regla: suma 1….x+1 La regla: elévalo al cuadrado…x 2 La regla: halla el triple de la entrada y entonces réstale cinco…3x-5 La regla: haz la raíz cuadrada y entonces suma cuatro…

Veamos cómo funciona La regla: Súmale 5 Con nuestro nuevo lenguaje diremos: f(x)= x + 5 = y Bueno, pues tenemos que … Entrada = 4 f(4) = = 9Salida=9 Entrada = 3 f(3) = = 8 Salida=8

Un poco de terminología matemática: En donde introduces la entrada, la x, como va variando su valor, se llama variable independiente. En donde te da la salida, la y, como va variando su valor dependiendo del valor que tome la x, se llama variable dependiente. f( )=f( )=