La Ecuación de Schrödinger I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get “down the drain” into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that. - Richard Feynman Richard Feynman ( )
Recapitulemos: de Broglie: dualidad onda-partícula Experimento de Young: interpretación probabilística Principio de Heisenberg: imposible determinar totalmente x y p al mismo tiempo No se puede determinar exactamente la trayectoria de una partícula.... Pero sí la probabilidad de encontrarla a tiempo t en determinado punto x. La probabilidad está relacionada con la función de ondas x,t) asociada a la partícula es solución de la ec. de ondas: Ec. de Schrödinger
Ecuación de Ondas Clásica
Hacia la ecuación de Schrodinger
La Ecuación de Schrödinger La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V es where V = V(x,t) La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental en Mecánica Cuántica. Igual que las ecuaciones de Newton en mecánica clásica, no se demuestra, sino que se postula.
La Ecuación de Schrödinger en 3-D La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V(r,t) es where V = V(x,t)
Solución General para V = 0 Probando con una onda plana Luego La onda plana es solución de la ec. de Schrödinger para una partícula libre
Normalización y Probabilidad La probabilidad P(x) dx de encontrar la partícula entre x y x + dx está dada por La probabilidad de estar entre x 1 y x 2 es Como la probabilidad de encontrar la partícula en “algún x” debe ser 1, debe estar normalizada
Características de la función de ondas es una función compleja. Los observables (x, p, E, …) deben ser reales, pero en gral es compleja debe ser finita debe ser monovaluada Tanto como d /dx deben ser continuas. (Para que exista la derivada segunda.) Para que esté normalizada, 0 para x Las soluciones de la ecuación de ondas que no cumplan las propiedades anteriores no tienen sentido físico.
para el estado fundamental del átomo de H
Comparación de orbitales y probabilidades
Valor Esperado El valor esperado de una magnitud dada es el promedio de dicha magnitud. Donde P i es la probabilidad correspondiente al valor x i. Si x es continua: En mecánica cuántica : Y el valor esperado de una función de x, g(x):
Para encontrar el valor esperado de p se necesita representar p en función de x y t. Considerando la derivada respecto a x de la función de onda para una partícula libre. Operador Momento Esto sugiere definir el operador momento Y el valor esperado
Considerando la derivada respecto a t de la función de onda para una partícula libre. Operador Energía Esto sugiere definir el operador momento Y el valor esperado
Sustituyendo los operadores: E : K+V : La Ec. de Schrödinger usando operadores La energía es: Sustituyendo
Cuando el potencial no depende explícitamente del tiempo la ecuación de Schrödinger es separable en variables espaciales y temporales. Ec. de Schrödinger Independiente del Tiempo luego Dividiendo por (x,t) Sólo función de tSólo función de x Cada término debe ser cte. B
Integrando : Ec. Schrödinger Independiente de t Comparando con la solución para la partícula libre: Y se obtiene Ec. de Schrödinger Independiente del tiempo
Estados Estacionarios Si el potencial V no depende explícitamente del tiempo la función de onda se puede escribir La densidad de probabilidad: Que es cte. en el tiempo. Estados estacionarios.
Postulados de la Mecánica Cuántica El estado de un sistema está completamente definido por su función de onda (x,t) Para cada observable clásico hay un operador lineal y hermítico en mecánica cuántica En la medida de un observable A sólo se pueden encontrar valores a que son autovalores del operador correspondiente A (x,t) = a (x,t) El valor promedio de un observable está dado por su valor esperado La función de ondas obedece la ec. de Schrödinger,