Dinámica del rígido Álvaro Favale, Emiliano Barcia, Bruno González Instituto de Física - Facultad de Ingeniería Universidad de la República Dinámica del rígido Álvaro Favale, Emiliano Barcia, Bruno González Proyecto PMME Física General 1 – Curso 2007

Desarrollo de la presentación Presentación del objetivo del proyecto. Determinación de la metodología a utilizar. Exposición del fundamento teórico utilizado, para la posterior resolución del ejercicio planteado. Observación de los resultados obtenidos mediante la variación de los parámetros del problema. Representación gráfica de dichos resultados.

Objetivo Resolución analítica del ejercicio planteado observando la incidencia de los distintos parámetros en juego.

Metodología Resolución del ejercicio 17 del práctico 8. Ideas a desarrollar: Variación de los parámetros del problema, observando cómo influyen en los resultados. Representación gráfica de los mismos variando la relación entre masas y radios.

Fundamento teórico En el movimiento traslacional asociamos una fuerza con la aceleración de un cuerpo. En el movimiento rotacional asociaremos una magnitud con la aceleración angular, pero es fácil verificar que no puede ser simplemente una fuerza.

Considero una fuerza F que actúa sobre una partícula localizada en un punto “P” cuya posición respecto al origen queda determinada por un cierto vector “r” (fig. 1) (fig. 1)

Definición de torque El torque ( ) que actúa sobre la partícula respecto al origen se define como: El torque es una cantidad vectorial; su magnitud esta dada por: con el ángulo entre r y F (fig. 1). (fig. 1)

Puede observarse que dicha ecuación tiene las siguientes interpretaciones: En conclusión, la componente de la fuerza que es perpendicular al radio, es la causante del torque.

Traslación y rotación de un cuerpo rígido Los efectos combinados de traslación del centro de masas, y de rotación en torno a un eje a través del centro de masas, son equivalentes a una rotación con la misma velocidad angular, en torno a un eje que pase a través del punto de contacto del cuerpo que rueda.

Las figs. (2) y (3) ilustran claramente este fenómeno: Considérese la velocidad instantánea de diferentes puntos de un cilindro que rueda. La velocidad de su centro de masa es: (fig. 2)

El punto “P” de contacto está instantáneamente en reposo.(fig. 2) Un punto “Q”en la parte superior del cilindro tendrá, por lo tanto, una velocidad de: (fig. 2) El punto “P” de contacto está instantáneamente en reposo.(fig. 2)

La fig. (3)(a), muestra la velocidad de estos mismos tres puntos, si el cilindro solo se trasladara hacia la derecha. (fig. 3) (a)

La fig. (3)(b) muestra la velocidad de los tres mismos puntos, si el cilindro estuviera rotando en torno a un eje perpendicular al plano por C. (fig. 3) (b)

Ahora combinando estos dos resultados podemos concluir lo ilustrado en fig. (3)(c).

Enunciado del ejercicio Sea un carretel formado por dos discos de masa M y radio R (cada uno) y un eje de radio r de masa despreciable, una polea de radio r y masa m, y una caja de masa m, vinculados por un hilo inextensible de masa despreciable. El carretel se encuentra sobre una superficie con fricción como muestra la figura. Plantea las ecuaciones que permitirían calcular la aceleración del centro de masa del carretel.

Ilustración y diagrama de fuerzas Cuerpo 1 Cuerpo 2 N T2 T2 Mg T1 Froz T1 Cuerpo 3 mg

Resolución del ejercicio Consideraciones: x – dirección en el eje , sentido en el que se desplaza el carretel. y – dirección en el eje , sentido en el que se desplaza la caja. LT – largo total de la cuerda (inicialmente L1 + L2) Cuerpo 1 – Carretel (1) (2) R.S.D (3) (4)

Cuerpo 2 – Polea (5) R.S.D (6) Cuerpo 3 – Caja (7)

Ecuación de ligadura Derivo dos veces la ecuación.. (8)

Resultado: Sustituyendo M = 3m y R = 3r (sugerencia del ejercicio)

Variación de los parámetros del problema Supongo masa de la polea = M Planteo las ecuaciones correspondientes..

Resultado: Sustituyendo M = 3m y R = 3r (sugerencia del ejercicio)

Supongo el radio de la polea = R Planteo las ecuaciones correspondientes..

Resultado: Sustituyendo M = 3m y R = 3r (sugerencia del ejercicio)

Supongo la masa de la caja = M Planteo las ecuaciones correspondientes..

Resultado: Sustituyendo M = 3m y R = 3r (sugerencia del ejercicio)

Representación gráfica Ejercicio Base M = xm R = xr

R = 2r = cte. M = xm

M = 2m = cte. R = xr

Masa de la polea = M M = xm R = xr

Masa de la caja = M M = xm R = xr

Conclusiones Proyecto Física 2007