DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Presentado por : Sandra Amado

Historia Al comenzar el siglo XX, un especialista en Estadística en Irlanda llamado William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media cuando la fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les permitía publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de "Student". La distribución que desarrolló se conoce como la distribución t de Student.

Definición : Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.

Propiedades de la distribución t La distribución t tiene las siguientes propiedades: La media de la distribución es igual a 0. La varianza es igual a v / ( v - 2), donde v es el grado de libertad. La varianza es siempre mayor que 1, a pesar de que está cerca de 1, cuando hay muchos grados de libertad. Con infinitos grados de libertad, la distribución t es la misma que la distribución normal estándar.

Principales propiedades. La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. 

Grados de Libertad Los grados de libertad n - 1 están directamente relacionados con el tamaño de la muestra n. A medida que el tamaño de la muestra y los grados de libertad se incrementan, S se vuelve una mejor estimación y la distribución t gradualmente se acerca a la distribución normal estandarizada hasta que ambas son virtualmente idénticas. Con una muestra de 120 o más, S estima con la suficiente precisión como para que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z.

Ejemplo Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre -t 0,05 y t 0,005 , queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. De la tabla encontramos que t 0,05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t: Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.

Ejemplo El gerente de una fabrica de cierto tipo de alimento asegura que el peso promedio del producto que elabora es de 165,285g.Un inspector toma una muestra de 16 paquetes del producto y los pesa. Los resultados fueron los siguientes : 165,158,153,162,171,175,173,169166170164177148167152149. encuentre la probabilidad de x<163,6875 Establecer datos: N=16 m= 165,285gr p=(x< 163,6875) s=9,24 Aplicar la formula Encontrar el valor de t.

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