Trfm.SistRefA. García-Alonso1 >> Transformación << Sistemas de Referencia LINK LINK

Trfm.SistRefA. García-Alonso2 Contenido Transformación “window/viewport”(Hearn 6) –Recorte de primitivas Fundamentos de Álgebra(Burgos 11) –J. de Burgos, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 1993 Sistemas de referencia Transformaciones 3D(Foley 5, Hearn 11) Cámaras(OpenGL PG 3, Hearn 12) Avatares (VRML’97) Seleccionar (picking)

Trfm.SistRefA. García-Alonso3 Todo en una imagen La siguiente figura muestra el uso de las distintas transformaciones en OpenGL, que es semejante a la utilizada en todo sistema de visualización En este capítulo lo estudiaremos paso por paso

Trfm.SistRefA. García-Alonso4 Definiciónes World-Window –Rectángulo definido en el Sistema de Referencia del Mundo mediante cuatro valores (cuidado !, hay dos posibilidades): Extremos, dos sobre el eje x, y otros dos sobre el eje y Coordenadas del origen y longitudes horizontal y vertical Viewport –Rectángulo definido en el Sistema de Referencia del área de dibujo (pantalla, window, botón) Nota : en los sistemas de ventanas, cada ventana, cada widget, es una “pantalla” independiente Objetivo : seleccionar que área del mundo se desea ver en una sub-área de pixels

Trfm.SistRefA. García-Alonso5 Del mundo al área de dibujo Sistema de referencia del mundo –Cualquier sistema de unidades: metro, seg., m/s, litros, etc –Cada eje unidad independiente (velocidad & tiempo) Sist. Ref. mundo

Trfm.SistRefA. García-Alonso6 … Sistema de referencia en el área de dibujo –button, drawingarea, window, screen –Unidades : píxeles –Su origen varía de unos sistemas a otros Esquina inferior izquierda Esquina superior derecha Área de dibujo con imagen x y x y

Trfm.SistRefA. García-Alonso7... xw min xw max yw min yw max Rectángulo window yv min yv max xv min xv max Rectángulo viewportImagen en pantalla + = Observar la distorsión en la imagen

Trfm.SistRefA. García-Alonso8 Ventana : término equívoco Ventana en transformaciones “window to viewport” Ventana en los sistemas de ventanas –The X window system (Linux) & Microsoft windows En estos casos los viewport –Se definen para cada ventana 3D contenida en el escritorio –Cada ventana 3D tiene su propio sistema de pantalla –El origen en la esquina superior izquierda del área de dibujo de la ventana (el marco no cuenta) Uso actual del modo “full window” –Aplicación : simulación, proyección, stereo Conexión de bordes en multi-proyección –Problema : interfaz 2D (menús, cajas de diálogo, etc)

Trfm.SistRefA. García-Alonso9 Transformación “window to viewport” Se definen los límites mínimos y máximos, en “x” y en “y” de los rectángulos window & viewport Problema –Dadas las coordenadas de un vértice (xw, yw) en el sistema de referencia del mundo –Determinar que coordenadas (xv, yv) le corresponden en el sistema de referencia de la pantalla xw min xw max yw min yw max (xw, yw) yv min yv max xv min xv max (xv, yv)

Trfm.SistRefA. García-Alonso10 Cálculo transformación “W/V” Objetivo : transformar coordenadas de los vértices del sistema del mundo al de la pantalla Hay dos modos de determinar la transformación –Transformación matricial bidimensional : escalado y translación –Fórmula directa (usaremos este) Se deben cumplir las relaciones de semejanza :

Trfm.SistRefA. García-Alonso11... De aquí se despeja : xv = ax + xw · sx yv = ay + yw · sy Siendo las constantes de transformación : ax = xv min - xw min · sx ay = yv min - yw min · sy sx = ( xv max - xv min ) / (xw max - xw min ) sy = ( yv max - yv min ) / (yw max - yw min )

Trfm.SistRefA. García-Alonso12 Distorsión En ocasiones no importa que se produzca distorsión –Distintas unidades en los dos ejes Con frecuencia es deseable evitar la distorsión –Dibujo planos Modo de evitarla –Manteniendo el window, reducir el viewport Deja franjas verticales u horizontales sin dibujar Esta solución no es habitual –Manteniendo el viewport, determinar un window apropiado Normalmente es lo más recomendable

Trfm.SistRefA. García-Alonso13 Ejercicio : evitar la distorsión Dado un window y un viewport, calcular un nuevo window ( yw’ min, yw’ max ) ó ( xw’ min, xw’ max ) mayor que el original, de modo que no se distorsione la imagen negro y punteado : window dado rojo & sólido : window calculado para evitar distorsión en la imagen xw min xw max yw min yw max yw’ min yw’ max xv max yv min yv max xv min width height

Trfm.SistRefA. García-Alonso14... Definimos la proporción de un rectángulo : a = w/h Hay que analizar dos casos vwvw vhvh vwvw vhvh viewport negro y punteado : window dado rojo & sólido : window ampliado para evitar distorsión en la imagen Observar que el window es proporcional al viewport a viewport < a window  recrecer altura window a viewport > a window  recrecer anchura window

Trfm.SistRefA. García-Alonso15 Recorte (clipping) Casi siempre es necesario recortar los elementos gráficos que se transforman fuera del viewport, pues sólo se deben dibujar los elementos interiores (en la figura se han dibujado a trazos los elementos a descartar) Esto da lugar al problema de recorte de (H ) –Segmentos –Polígonos (vacíos o rellenos) –Círculos –Curvas –Texto –Etc

Trfm.SistRefA. García-Alonso16 Fundamentos de Álgebra Geometría : área del Álgebra que trata de las medidas, propiedades y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos Topología : estudia las propiedades que no cambian al producirse “deformaciones continuas” Contenido del repaso –Puntos y vectores –Espacio vectorial euclídeo –El espacio afín –Sistemas de referencia

Trfm.SistRefA. García-Alonso17 Puntos y vectores Conjunto E 3 –A sus elementos se les llama puntos –Punto vs. Vértice (geometría vs. topología) Espacio vectorial  3 –Sus elementos son vectores Coordenadas vs. Componentes –Transformaciones Unidades –Adimensional o especificado –Metros (VRML)

Trfm.SistRefA. García-Alonso18 Espacio vectorial euclídeo Espacio vectorial euclídeo : todo espacio vectorial real dotado de un producto escalar (Burgos 8.1) Producto escalar –Sea V un espacio vectorial real –La aplicación : V x V   –Será un producto escalar o producto interno, si para cualesquiera x, x’, y  V y λ, λ’  , se verifica que x · y = y · x ( λx + λ’x’) · y = λx · y + λ’x’ · y x · x > 0,  x ≠ 0

Trfm.SistRefA. García-Alonso19 El espacio afín El espacio afín (E 3 ) –( Se define y fundamenta en Álgebra ) –Está constituido por los siguientes elementos : Conjunto E 3 Espacio vectorial  3 Aplicación :  (P, Q) / P, Q  E 3  v   3 –Esta relación se denota : v = PQ ó Q = P + v [1] –Se deben verificar las condiciones :  P  E 3 y  v   3,  | Q  E 3 que satisface [1] Dados tres puntos cualesquiera P, Q, R  E 3 se verifica PQ + QR = PR (relación de Chasles)

Trfm.SistRefA. García-Alonso20 Sistemas de referencia Bases ortonormales (Burgos 8.3) Coordenadas cartesianas (Burgos 11.1 (201) ) –Dados un punto O (origen) de E 3 y si (e 1, e 2, e 3 ) es una base de  3, se dice entonces que (O; e 1, e 2, e 3 ) es una referencia cartesiana de E 3. –Cuando la base sea ortonormal, a la referencia se la llamará rectangular –Se llaman coordenadas cartesianas de un punto X  E 3 respecto de dicha referencia a las coordenadas (x 1, x 2, x 3 ) del vector OX en la base (e 1, e 2, e 3 )

Trfm.SistRefA. García-Alonso21 Dextrógiro o levógiro Reglas –Mano derecha o izquierda –Sacacorchos o rosca normal Los sistemas dextrógiros son los más habituales En algunos casos el sistema de la cámara es levógiro y x z Dextrógiro (right handed) y x z Levógiro (left handed)

Trfm.SistRefA. García-Alonso22... Penn State University Center for Academic Computing Visualization Group publications/cacguide/viz/sem_notes/3d_fundamentals

Trfm.SistRefA. García-Alonso23 Sistemas de referencia en GxC Mundo (World, Global) en el cuál se construye la escena (cptos de gravedad, eje vertical) Modelado (Local) en el cual se describe un objeto Cámara (Camera) –Rígidamente unido cámara –Origen en punto vista –Dirección de visión Normalizado Pantalla (device) –Monitor –Ventana xwxw ywyw zwzw zmzm ymym xmxm zczc ycyc xcxc