UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS MARÍA BELÉN CEVALLOS GILER CUARTO “C”

 La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos.  La localización de raíces y la optimización están relacionadas, en el sentido de que ambas involucran valores iniciales y búsqueda de un punto sobre una función.

OBJETIVO GENERAL:  Comprender el concepto de Optimización y orientarlo a resolver problemas prácticos de ingeniería. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Diferenciar entre localización de raíces y optimización.  Comprender la importancia que esta tiene en el campo de la ingeniería.  Utilizar herramientas informáticas (Excel, Matlab, Mathcad) para resolver problemas de optimización.

 La localización de raíces involucra la búsqueda de raíces de una función o funciones. En contraste, la optimización involucra la búsqueda del mínimo o del máximo. Lo óptimo es el punto donde la curva es plana. En términos matemáticos, esto corresponde al valor de x donde la derivada f´(x) es igual a cero. Además, la segunda derivada, f´´ (x), indica si el óptimo es un mínimo o un máximo.

 Un problema de optimización trata de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. Los métodos de cálculo diferencial aún están en uso para determinar soluciones óptimas.

 Diseño de aviones para un mínimo peso y máxima resistencia.  Trayectorias óptimas de vehículos espaciales.  Diseño de estructuras en la ingeniería civil a un mínimo costo  Diseño de proyectos de abastecimiento de agua, como en presas, para mitigar el daño por inundación mientras se obtiene la máxima potencia de generación.  Predecir el comportamiento estructural al minimizar la energía potencial.

 Estrategia de corte de materiales para un costo mínimo.  Diseño de bombas y equipos de transferencia  Redes de tubería óptimas.  Maximizar la potencia de salida de redes eléctricas y maquinaria mientras se minimiza el calor generado.  Ruta más corta de un vendedor que visita varias ciudades durante un viaje de ventas.

 Planeación óptima y calendarizada.  Análisis estadístico y moderado con un mínimo error.  Control de inventario  Planeación del mantenimiento para minimizar costos.  Minimizar tiempos de espera y ociosos.  Diseñar sistemas de tratamiento de aguas para cumplir con estándares de calidad del agua a bajo costo.

 Derivar la función  Igualar a cero la derivada  Despejar los valores de x  Reemplazar estos valores en la ecuación original para obtener f(x) Ejemplo: f(x)= x^2*-2 f’(x)=2x 0=2x x=0 f(x)=-2 f”(x)= 2

Un problema de programación matemática u optimización, se puede establecer de forma general como. Determine x, el cual maximiza o minimiza f(x) sujeto a d i (x) <= a i i = 1, 2,…, m e i (x) = b i i= 1,2,…, p f(x) es la función objetivo; d i (x) son restricciones de desigualdad; e i (x) son restricciones de igualdad, y a i y b i son constantes.

 Si f(x) y las restricciones son lineales, tenemos programación lineal.  Si f(x) es cuadrática y las restricciones son lineales, tenemos programación cuadrática.  Si f(x) es no lineal o cuadrática y/o las restricciones son no lineales, tenemos programación no lineal

 Cuando estas dos ecuaciones se incluyen, tenemos un problema de optimización restringida; de otra forma, es un problema de optimización no restringido: d i (x) <= a i i = 1, 2,…, m e i (x) = b i i= 1,2,…, p

 Se clasifican en unidimensionales y multidimensionales. Los primeros involucran funciones que dependen de una sola variable, la búsqueda consiste entonces en ascender o descender los picos y valles unidimensionales. Los problemas multidimensionales involucran funciones que dependen de dos o más variables dependientes.

En el mismo sentido, la optimización bidimensional se puede de nuevo visualizar como una búsqueda de picos y valles.

Para la optimización unidimensional no restringida Búsqueda sección dorada Interpolación cuadrática Método de Newton Optimización multidimensional no restringida Métodos directos: Búsquedas aleatorias, búsquedas invariables y búsqueda de patrones Métodos gradiente: Paso ascendente/descendente, gradiente conjugado, Newton, Marquardt y métodos cuasi-Newton Optimización restringida Representación gráfica Método simplex

 Se desea construir de una plancha rectangular de 70 x 70 cm una bandeja de volumen máximo cortándole cuadrados en las esquinas. Hallar las dimensiones de la bandeja.

V= B.B.x = B 2.x B + x + x = 70 B = 70 – 2x x = (70-B)/2  V = (70 – 2x) 2.x  B = 70 – 2x  B= 70 – 2(70/6)  B = 46,667  Podemos concluir que las dimensiones de la bandeja son 46,67 cm x 46,67 cm x 11,67 cm.

 Usted es un ingeniero que trabaja para una compañía aérea que lleva abastecimientos a los refugiados de una zona de guerra. Los abastecimientos se dejarán caer a baja altitud (500 m), de tal forma que la caída no sea detectada y que los abastecimientos caigan tan cerca como sea posible del campo de refugiados. Los paracaídas se abren en forma inmediata casi al salir del aeroplano. Para reducir el daño, la velocidad vertical de impacto debe ser menor que un valor crítico de v c = 20 m/s.  El área transversal del paracaídas es la de una semiesfera  A = 2πr 2  La longitud de cada una de las 16 cuerdas que sostienen el paracaídas con la masa está relacionada con el radio del paracaídas por  l =

 La fuerza de arrastre en el paracaídas, es una función lineal de su área de sección transversal descrita por la siguiente fórmula  c = k c A  donde c =coeficiente de arrastre (kg/s) y k c = constante de proporcionalidad parametizando el efecto del área sobre el arrastre = 3 kg/(s.m 2 ).  También es posible dividir la carga total en tantos paquetes como quiera. Es decir, la masa de cada paquete individual se puede calcular como:  Donde Mt= carga total que habrá que arrojarse (2000 kg), m= masa de cada paquete individual (kg) y n= número total de paquetes.

 Por último, el costo de cada paracaídas está relacionado con el tamaño en una forma no lineal,  Costo por paracaídas = c 0 + c 1 l + c 2 A 2  Donde c 0, c 1 y c 2 = coeficientes de costo. El término constante, c 0 es el valor base para el paracaídas ($200), c 1 el coeficiente de costo por longitud ($56/m) y c 2 el coeficiente de costo por área ($0.1/m 2 ). La relación no lineal se debe a que la manufactura de los paracaídas de gran tamaño es más complicada que la de los paracaídas pequeños.  Determine el tamaño (r) y el número de paracaídas (n) que pueden obtenerse a un mínimo costo, y que cumplan al mismo tiempo el requerimiento de tener una velocidad de impacto suficientemente pequeña.

 Objetivo: determinar la cantidad y el tamaño de paracaídas que minimicen el costo del planeador. El problema está restringido, ya que los paquetes deben tener una velocidad de impacto menor al valor crítico.  El costo se puede calcular al multiplicar el valor de un paracaídas individual por el número de paracaídas (n).  Función objetivo:  Minimizar C = n(c 0 + c 1 l + c 2 A 2 )

 Restricciones.  1: la velocidad que debe ser menor o igual a la velocidad crítica  v <= v c  2: el número de paracaídas debe ser un entero mayor o igual a 1  n >= 1 donde n es un entero.  En este punto, el problema se ha formulado. Aunque el problema se ha formulado de forma amplia, algo más que debe tomarse en cuenta: ¿Cómo se determina la velocidad de impacto v? Recordemos que la velocidad de un objeto en caída se puede calcular con  Donde v = velocidad (m/s), g = aceleración de la gravedad (m/s 2 ), m = masa (kg) y t =tiempo (s).

 Aunque esta ecuación provee la relación entre v y t, se necesita conocer en cuanto tiempo cae la masa. Por tanto, es necesaria una relación entre la distancia de caída z y el tiempo de caída t. La distancia de caída se puede calcular de la velocidad por integración:  Esta integral se puede evaluar para obtener  Donde z 0 = altura inicial (m).

 Sin embargo, no se necesita z como una función de t para resolverla. En lugar de esto, se debe calcular el tiempo requerido por el paquete para recorrer en caída la distancia z 0. Así, se reconoce que se ha formulado la ecuación como un problema de determinación de raíces. Esto es, se debe resolver para el tiempo en el cual z se acerca a cero.  f(t) = 0 = z 0  Una vez que se calcula el tiempo de impacto, se puede sustituir en la ecuación de la velocidad con el fin de resolver la misma.

Minimizar C = n(c 0 + c 1 l+ c 2 A 2 ) Sujeta a v <= v c n >= 1 donde A = 2πr 2 l = c = k c A t = raíz