Tema 7: Probabilidad 1. Introducción. 2. Variables aleatorias. 3. Funciones de probabilidad y de distribución. 4. Principales distribuciones: Distribuciones binomial, normal, t, c2 y F.

1. Introducción Principales conceptos preliminares Experimento aleatorio: Es cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho con certeza Por ejemplo, tirar un dado, efectuar una tarea de TR, o un test de rendimiento, el número de accidentes un fin de semana. Espacio muestral (E): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados.

Dependiendo del número de elementos del espacio muestral distinguiremos 3 tipos de espacios muestrales: Espacio muestral discreto finito. Consta de un número finito de elementos. (v.g., el ejemplo del dado). Espacio muestral discreto infinito. Consta de un número infinito numerable de elementos. (v.g., lanzar un dado hasta que salga un “6”) Espacio muestral continuo. Consta de un número infinito no numerable de elementos. (v.g., número posible de puntos alcanzables en un experimento de “lanzar flecha a diana”)

Suceso. Es cualquier subconjunto de un espacio muestral Tipos de sucesos (de acuerdo con el número de elementos del espacio muestral): Suceso simple (o elemental), que es el que consta de un único elemento Suceso compuesto, que consta de dos o más elementos Suceso seguro (o cierto), que consta de todos los elementos del espacio muestral Suceso imposible, que es el que no consta de ningún elemento del espacio muestral Representación de los sucesos---Diagramas de Venn son útiles

Probabilidad: ENFOQUE FORMAL Axioma 1. La probabilidad del suceso seguro es 1 Axioma 2. La probabilidad de cualquier suceso S es no negativa Axioma 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos (S1 y S2), mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabilidades

Teorema. La probabilidad de la unión de un conjunto infinito numerable de sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades Probabilidad condicional Llamamos probabilidad condicional de A dado/supuesto B a la expresión Teorema del producto

Sucesos independientes Sucesos independientes. Dos sucesos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si se verifica

2. Variables aleatorias Una variable aleatoria es toda función que atribuye un número real, y solo uno, a cada suceso elemental de E; es decir, toda función real definida sobre E. Notación: las vv.aa. se designan con letras mayúsculas latinas, mientras que los valores atribuidos a los sucesos estarán con letras minúsculas latinas. Variable aleatoria discreta Aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores Variable aleatoria continua Aquella que puede tomar un número infinito no numerable de valores

3. Funciones de probabilidad y de distribución Función de probabilidad de X (v.a. discreta) Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma ese valor, salga xi Propiedades son los valores asumibles por la v.a. X 1. 2. 3. Siendo a<b<c, el suceso A={a≤X≤b} y el suceso B={b<X≤c} son mutuamente excluyentes. Se cumple

Función de distribución de X (v.a. discreta) Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de que la v.a. X sea igual o menor que xi Propiedades 1. 4. 2. 5. 3. es una función no decreciente

Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua) Es aquella función, f(x), que verifica las siguientes dos condiciones La curva, que es la representación de f(x), no tiene puntos por debajo del eje de abscisas 1. 2. El área TOTAL bajo la curva vale 1 Observad que con vv.aa. continuas f(x) no es una probabilidad, es una DENSIDAD de probabilidad.

Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua). Ejemplo Examinar si f(x) es una verdadera función de densidad de probabilidad 0 en otro caso Es claro que f(x) será siempre mayor o igual que 0 Observad que f(x) puede ser mayor que 1: f(1)=3’25 Luego sí lo es.

Función de distribución de X (v.a. Continua) Es aquella función que asigna a todo número real, x, la probabilidad de que la v.a. X sea igual o menor que x Propiedades 1. 4. 2. 5. 3. es una función no decreciente

VV.AA. discretas vs. VV.AA. continuas. COMPARACIÓN 1. En una v.a. discreta, P(X=x)≥0 para todo x. En una v.a. continua, P(X=x)=0 para todo x. 2. En una v.a. discreta, f(x) representa una probabilidad, en concreto, P(X=x) y, nunca puede valer más de 1. En una v.a. continua, f(x) no representa la probabilidad, sino la densidad de probabilidad (esto es, puede valor más que 1). 3. En una v.a. discreta, empleamos puntos para introducir la probabilidad. En una v.a. continua empleamos intervalos (recordad que la probabilidad de cada punto es 0). 4. En una v.a. discreta, cualquier probabilidad es la suma de probabilidades asociadas a puntos. En una v.a. continua, cualquier probabilidad es una integral definida, asociada a un intervalo.

Distribución normal (o gaussiana) 4. Principales distribuciones: Distribuciones binomial, normal, t, c2 y F. Distribución normal (o gaussiana) Es la distribución más conocida. Su función de densidad es: Donde a puede ser cualquier número real, y b puede ser cualquier número real positivo; la primera hace las funciones de media (esperanza) y la segunda de varianza.

Distribución normal (2) -Es simétrica y unimodal -Como cualquier otra distribución, el área bajo la curva es 1 (recordad que la curva es asintótica respecto al eje de abscisas). Distribución normal estandarizada (tipificada) Es aquella que tiene media 0 y varianza 1. Se puede expresar como N(0,1)

Distribución chi-cuadrado -Nunca adopta valores menores de 0 -Es asimétrica positiva -Es en realidad una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución chi-cuadrado con 1 gl, una distribución chi-cuadrado con 2 gl, etc. (Nota: Los grados de libertad son siempre números positivos.) -A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se hace más y más simétrica. Empleo: En pruebas de bondad de ajuste (para comparar las puntuaciones predichas con las observadas), entre otras.

Distribución t de Student -Es simétrica y unimodal, con media en 0 -Es una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución t de Student con 1 gl, una distribución t de Student con 2 gl, etc. -A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tiende más y más a una distribución normal estandarizada. (Empleo: pruebas de contraste de 2 medias, entre otros)

Distribución F de Fisher (en algunos libros “F de Snedecor”) -Nunca adopta valores menores de 0 -Es asimétrica positiva -Es en realidad una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad” del numerador y del denominador. Es decir, hay una F de Fisher con1 gl en el numerador y 10 gl en el denominador, etc. -(Se puede demostrar que la distribución F equivale a una razón entre dos chi-cuadrados; de ahí que hablemos en el caso de F de grados de libertad en el numerador y en el denominador.) (Empleo: Análisis de Varianza –ANOVA- entre otros)