Método de las tajadas (Sachs) aplicado a trefilación con deformación plana. Ecuaciones. Es un método basado en equilibrio de fuerzas no en energías Equilibrio de fuerzas en dirección x (Ver Figs 7.1 y 7.2) (σ x +dσ x )·(t + dt)·w +2P·senα·(dx/cosα)·w + 2μ·P·cosα·(dx/cosα)·w =σ x ·w·t Despreciando diferenciales al cuadrado y productos de diferenciales, considerando: 2dx = dt/tgα y μ·cotα = B se tiene: t·dσ x +[σ x + P(1+B)]·dt = 0 (*)

Método de las tajadas (Sachs) aplicado a trefilación con deformación plana. Ecuaciones. Equilibrio de fuerzas en dirección y (Ver Fig. 7.2.b) σ y ·dx + P·cosα·ds = μ·P·senα·ds Considerando: cosα = dx/ds y μ·tgα<< 1 σ y ≈ -P En términos de tensiones principales: σ x = σ 1 ; σ z = σ 2 ; σ y = -P = σ 3

Método de las tajadas (Sachs) aplicado a trefilación con deformación plana. Ecuaciones.

Método de las tajadas (Sachs) aplicado trefilación de forma circular

Método de las tajadas (Sachs) aplicado a forja con deformación plana

Introduciendo en (*): 2·μ·P·dx = -h·dP Luego: dP/P = -2·(μ/h)·dx Integrando: Integrando se tiene: ln(P/2k) = 2·(μ/h)·(b/2 –x); luego: (P/2k) = exp[(2·μ/h)·(b/2 –x)] (vale entre x=0 y x= b/2) (P/2k) max = exp (μ·b/h) (x=0) P promedio = P promedio = {2k/(μ·b/h)}· (e μb/h – 1) Método de Sachs aplicado a forja con deformación plana para x= b/2 σ x = 0 y P = 2k

Presión de forja con deformación plana expresando el roce como mk en vez de μP

Método de las tajadas aplicado a forja axisimétrica

Laminación de planchas La laminación de planchas puede ser considerada como: compresión con deformación plana. De acuerdo con la Fig 7.9 el ancho w no cambia, luego ε y ≈0; ε x = - ε z

Laminación de planchas La zona donde se aplica la presión de los rodillos queda definida aproximadamente por w y por L = (R·Δh) ½ (ver demostración con Fig. 7-11: se aplica Pitágoras al triángulo formado por L, R y R+Δh.

Laminación de planchas Aplicando la ecuación desarrollada anteriormente: P promedio = (h/(μL))·[exp(μL/h) -1]·σ 0 σ 0 es la tensión de fluencia en deformación plana promedio a lo largo de L; según von Mises σ 0 = (2/√3)·Y según Tresca σ 0 = 2k = Y Si el material es perfectamente plástico Y = constante. Si hay endurecimiento: σ 0 = ½·(σ 0(entrada) + σ 0(salida) )

Laminación de planchas Es usual efectuar laminación aplicando tracción a la plancha hacia delante y o hacia atrás; en este caso: P promedio = (h/(μL))·[exp(μL/h) -1]·(σ 0 –σ t ) donde σ t =½·(σ t(adelante) + σ t(atrás) ) La fuerza de separación de los rodillos por unidad de largo de los rodillos (F s ): F s = P promedio ·L (N/m) o (lb/in) Si el radio R de los rodillos es grande, L es grande; si h es pequeño (lámina delgada) se genera un cerro de roce muy alto y una presión promedio muy alta, la que produce aplanamiento de los rodillos.

El radio R se modifica a un radio R’ en la zona de contacto rodillo- plancha. Hitchcock propuso un método para calcular R’: Laminación de planchas y aplanamiento de rodillos

El radio R se modifica a un radio R’ en la zona de contacto rodillo- plancha. Hitchcock propuso un método para calcular R’: R’ = R[1+ (16·F s )/(π·E ’ ·Δh)] (*) E’ módulo elástico en deformación plana = E/(1- ν 2 ) Obteniéndose un valor de R’ se debe calcular un nuevo: L’ ≈ (R ’ ·Δh) 0,5 Enseguida se re-calcula F s = P promedio ·(R’·Δh) ½ P promedio = (h/(μL’))·[exp(μL’/h) -1]·(σ 0 –σ t ) F s = (h/μ))·[exp(μL’/h) -1]·(σ 0 –σ t ) (**) F s y R’ pueden encontrarse resolviendo simultáneamente las ecuaciones (*) y (**) mediante aproximaciones sucesivas o iteraciones sucesivas o por el método gráfico de la Fig La solución está en la intersección de ambas ecuaciones. Laminación de planchas

Laminación de planchas. Aplanamiento de los rodillos En la Fig 7-14 se observa que no hay intersección para h 0 =0,02in; esto significa que hay un límite inferior para el espesor de la plancha, bajo el cual no se puede laminar.

Laminación de planchas. Aplanamiento de los rodillos El aplanamiento de los cilindros puede ser tan severo que es imposible reducir el espesor bajo un cierto límite h, dado por la siguiente ecuación: h min =(C·μ·R/E’)·(σ 0 – σ t ) (***) con C entre 7 y 8 La ecuación (***) señala los parámetros que deben ser controlados si se quiere laminar hojas delgadas (foils): -Aplicar tensión hacia delante y hacia atrás (σ t ) -Reducir μ con buena lubricación -Utilizar rodillos de pequeño diámetro (Sendzimir), rodillos pequeños apoyados por rodillos grandes en forma planetaria. -Usar rodillos de alto módulo elástico (carburos sinterizados) -Laminar varias hojas simultáneamente en sandwich.

Perfilado de los rodillos para obtener espesor de laminación parejo Para compensar las deformaciones de los cilindros de laminación, se debe dar un perfil con el diámetro variando a lo largo del cilindro (camber)

Efectos sobre el laminado de insuficiente perfilado

Efectos del sobre-perfilado en la laminación