FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1. Funciones exponenciales. Una función exponencial es una función cuya expresión es siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:

xy -40,2 -30,3 -20,44 0, ,5 22,25 33,375 45,06

xy -40, , ,25 0,

xy -40, , ,11 0,

xy -439,1 -315, ,25 2, ,4 20,16 30,064 40,0256

xy ,5 20,25 30,125 40,0625

xy -45,06 -33, ,25 1, ,67 20,44 30,3 40,2

En general si Dominio Recorrido Monotonía Estrictamente creciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno

En general si Dominio Recorrido Monotonía Estrictamente decreciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno

No Solution

2. Funciones logarítmicas. Definición de logaritmo Una función logarítmica es una función cuya expresión es: siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:

xy 1/8-3 1/4-2 1/

xy 1/27-3 1/9-2 1/

xy 1/83 1/42 1/

xy 8/273 4/92 2/ /2 9/4-2 27/8-3

En general si Dominio Recorrido Monotonía Estrictamente creciente Acotación No está acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno

En general si Dominio Recorrido Monotonía Estrictamente decreciente Acotación No está acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno

3. Logaritmo de un número. El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado: Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log 10, es decir: Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de log e, es decir:

Ejemplos.

Propiedades. El logaritmo de la unidad es cero: El logaritmo de la base es uno: El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:

Propiedades. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia: El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:

Logaritmos con bases iguales: log b x = log b y Ejemplo: log b ( x + 5) = 2 log b 3 x + 5 = 3 2 x = 9 – 5 x = 4 Propiedad Especial

Observación Horrores-Error Comunes: Notar que no se puede 1) simplificar la expresión y que no conduce a hallar la solución de la ecuación logaritmica. No es lo mismo que log b [m / n] como dice la propiedad de división. 2) Notar que no se puede simplificar y por lo tanto estas dentro del paréntesis es 3) conducente a ver la expresión como un número. No es lo mismo que log b m*n como dice la propiedad del producto de logaritmos.

Escribir la expresión como la suma o diferencia de logaritmos. Expresar todas las potencias como factores.

Escribir la siguiente expresión como un logaritmo simple.

Aplicaciones a las Ciencias En 1989 se reportó un terremoto en una ciudad de California con 6.9 grados en la escala Richter (R). ¿Cómo se compara esta intensidad con la intensidad en la escala dada por la ecuación: » I es la intensidad que reporta el sismo I 0 es la intensidad de referencia

Supongamos que la intensidad de un terremoto fue 50,000 veces mayor que la intensidad de referencia, o sea, I = 50,000( I 0 ), ¿Cuál es el número de grados en escala Richter del terremoto? Recuerda: Notar que I 0 cancela

4. Ecuaciones exponenciales. Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales: -Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base. -Ecuaciones resolubles por cambio de variable.

Ejemplos. Se busca una base común para todos los números que aparecen: Se opera: Se igualan los exponentes: Se resuelve:

Ejemplos. Se hace un cambio de variable: Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: Queda: Se opera: Se deshace el cambio: Se resuelve:

Ejemplos. Se hace un cambio de variable: Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: Queda: Se resuelve: Se deshace el cambio:

6. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.

Ejemplos. 2 log x – log (x-16) = 2 Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.

log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3) Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x 2 =2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.