A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA Dpto. de Física y Química BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA ÍNDICE Áreas y volúmenes de figuras geométricas Funciones trigonométricas Productos de vectores Desarrollo en serie de un binomio Cálculo diferencial Cálculo Integral Introducción al análisis dimensional

1 Áreas y volúmenes de figuras geométricas A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 1 Áreas y volúmenes de figuras geométricas Figuras planas Círculo de radio r L = 2r A = r2 Cuadrado de lado a A = a2 Triángulo A = (base·altura)/2 Figuras espaciales Cubo de lado a A = 6a2 V = a3 Esfera de radio r A = 4r2 V = 4/3 r3 Cilindro de radio r y longitud l A = 2rl Abases = r2 V = r2l

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ; 𝑐𝑜𝑠𝑐𝛼= ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 cos𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ; 𝑠𝑒𝑐𝛼= ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 2.1. Funciones trigonométricas de ángulos pequeños s r  𝜃= 𝑠 𝑟 (á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) Si  es menor de 25º: 𝜃≅𝑠𝑒𝑛 𝜃≅𝑡𝑔 𝜃 Los valores del seno y la tangente de un ángulo pequeño coinciden con el del ángulo expresado en radianes

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 2.2. Identidades trigonométricas de interés 𝑠𝑒𝑛 𝑎±𝑏 =𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏±𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎±𝑏 =𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏∓𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎+𝑠𝑒𝑛𝑏=2𝑠𝑒𝑛 𝑎+𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 𝑎−𝑏 2 𝑠𝑒𝑛𝑎−𝑠𝑒𝑛𝑏=2𝑠𝑒𝑛 𝑎−𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 𝑎+𝑏 2 𝑐𝑜𝑠𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑏=2𝑐𝑜𝑠 𝑎+𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 𝑎−𝑏 2 𝑐𝑜𝑠𝑎−𝑐𝑜𝑠𝑏=2𝑠𝑒𝑛 𝑎+𝑏 2 𝑠𝑒𝑛 𝑏−𝑎 2

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.1. Producto escalar El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es el número que se obtiene multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo que forman:  𝑎 𝑏 𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑎 𝑏 𝒂 ∙ 𝒃 =𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝜶=𝒂· 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝒂 𝒃 Producto escalar en función de las componentes 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 =1 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑘 · 𝑖 = 𝑗 · 𝑘 = 𝑘 · 𝑗 =0 𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 ; 𝑏 = 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 𝒂 · 𝒃 = (𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 )· 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 = 𝒂 𝒙 𝒃 𝒙 + 𝒂 𝒚 𝒃 𝒚 + 𝒂 𝒛 𝒃 𝒛

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores EJERCICIO 1 Sean los vectores: 𝑎 =3 𝑖 −2 𝑗 + 𝑘 ; 𝑏 =− 𝑖 +3 𝑗 −2 𝑘 Calcular: a) El vector suma, 𝑎 + 𝑏 . Un vector unitario en la dirección del vector 𝑎 + 𝑏 . El producto escalar de los dos vectores. El ángulo que forman.

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.2. Producto vectorial El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es un nuevo vector cuyos atributos son: Módulo: 𝑎 × 𝑏 =𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼 Dirección: Perpendicular al plano que forman los dos vectores Sentido: Que resulta de aplicar la “regla de la mano derecha” 𝑎 𝑏 𝑎 × 𝑏  𝜋 ℎ 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 × 𝑏 =𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼=𝑎ℎ=Á𝑟𝑒𝑎 (𝑂𝐴𝐶𝐵) Cualquier superficie puede representarse mediante un vector perpendicular a ella y cuyo módulo sea igual al área de la misma.

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.2. Producto vectorial Producto vectorial en función de las componentes 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 =0 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 ; 𝑗 × 𝑖 =− 𝑘 𝑖 × 𝑘 =− 𝑗 ; 𝑘 × 𝑖 = 𝑗 𝑗 × 𝑘 = 𝑖 ; 𝑘 × 𝑗 =− 𝑖 𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 ; 𝑏 = 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 𝒂 × 𝒃 = (𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 )× 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 = 𝒂 𝒚 𝒃 𝒛 − 𝒂 𝒛 𝒃 𝒚 𝒊 + 𝒂 𝒛 𝒃 𝒙 − 𝒂 𝒙 𝒃 𝒛 𝒋 + 𝒂 𝒙 𝒃 𝒚 − 𝒂 𝒚 𝒃 𝒙 𝒌 𝑎 × 𝑏 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.3. Aplicaciones del producto vectorial Momento de un vector respecto de un punto Se define el momento de un vector 𝒂 aplicado a P, con respecto un punto O, como el producto vectorial entre el vector de posición, 𝒓 = 𝑶𝑷 , y el propio vector 𝒂 : 𝑟 𝑎 𝑀 𝑎 ,𝑂 𝑂 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧) 90 0 𝑀 𝑎 ,𝑂 = 𝑟 × 𝑎 𝑟 = (𝑥−𝑥 0 ) 𝑖 + (𝑦−𝑦 0 ) 𝑗 + (𝑧−𝑧 0 ) 𝑘

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores EJERCICIO 2 Sean los puntos A (2, 1, - 3), B (-2, -1, -2) y C (0, 3, -1). Calcular: El área del triángulo que forman los tres puntos. El ángulo que forman los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 . c) El momento del vector 𝐴𝐵 , respecto del origen de coordenadas.

4 Desarrollo en serie de un binomio A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 4 Desarrollo en serie de un binomio 𝑎+𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑛 1! 𝑎 𝑛−1 𝑏+ 𝑛 𝑛−1 2! 𝑎 𝑛−2 𝑏 2 + 𝑛 𝑛−1 (𝑛−2) 3! 𝑎 𝑛−3 𝑏 3 +…+ 𝑛! 𝑛! 𝑎 𝑛−𝑛 𝑏 𝑛 𝑎+𝑏 2 = 𝑎 2 + 2 1! 𝑎 2−1 𝑏+ 2 2−1 2! 𝑎 2−2 𝑏 2 = 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 1+𝑥 𝑛 =1+ 𝑛𝑥 1! + 𝑛 𝑛−1 𝑥 2 2! +… Si x<<1 1+𝑥 𝑛 ≅1+𝑛𝑥

4 Desarrollo en serie de un binomio A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 4 Desarrollo en serie de un binomio EJERCICIO 3 Calcula 𝑥+2 5 .

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial Sea y una función de x: 𝑦=𝑦(𝑥) y es una variable dependiente de x, que es la variable independiente. Para saber como varía una función y(x) en un determinado intervalo de x, haremos: Δ𝑦 Δ𝑥 Pero si x es extremadamente pequeño, estaremos analizando dicha variación en el límite en que el x se hace caso cero: 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝛥𝑦 𝛥𝑥 Ese valor límite es lo que se conoce con el nombre de derivada de y con respecto a x: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝑦 𝑥+∆𝑥 −𝑦(𝑥) 𝛥𝑥

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial 5.1. Cálculo de la derivada de la función y(x) = xn 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 (𝑥+∆𝑥) 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝛥𝑥 𝑥+∆𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 +𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+ 𝑛 𝑛−1 2 𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 2 +… 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 𝑥 𝑛 +𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+ 𝑛 𝑛−1 2 𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 2 +… 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝛥𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥 𝛥𝑥 =𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 𝑛 =𝑎𝑛· 𝑥 𝑛−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 =𝑎 cos 𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑎𝑥 =−𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑎𝑥 = 𝑎 𝑥

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial 5.2. Propiedades de las derivadas 𝑑𝑎 𝑑𝑡 =0 𝑑(𝑓+𝑔) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑡 + 𝑑𝑔 𝑑𝑡 𝑑(𝑓·𝑔) 𝑑𝑡 =𝑓· 𝑑𝑔 𝑑𝑡 +𝑔· 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑑(𝑎·𝑓) 𝑑𝑡 =𝑎· 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑓 𝑔 = 𝑔· 𝑑𝑓 𝑑𝑡 −𝑓· 𝑑𝑔 𝑑𝑡 𝑔 2 𝑆𝑖 𝑦=𝑦 𝑥 𝑦 𝑥=𝑥 𝑡 , 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 · 𝑑𝑥 𝑑𝑡

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial EJERCICIO 4 Sea la función f(x) = 3 (x3 – 2) + x2 – 3. Calcula: La derivada primera de la función respecto de x. El valor de la derivada primera en el punto x = 1. La derivada segunda de la función respecto de x.

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial 5.3. Derivación parcial Sea f una función de x, y y z; derivar parcialmente la función f(x,y,z) con respecto a una sola de las variables consiste en derivar la función suponiendo que las otras son constantes: 𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝜕𝑥 Vector gradiente de una función escalar Si V(x,y,z) es una función escalar, se define el gradiente como: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝑘 = 𝛻 𝑉= 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝑉

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial EJERCICIO 5 Sea la función f(x, y, z) = x3y2z – xz3 + y2 Calcula: El vector gradiente de la función Un vector unitario en la dirección del vector gradiente en el punto (1, 2, -2).

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 6 Cálculo integral La integración es la operación inversa a la derivación. Así, la integral de una función f(x) es otra función y(x) tal que: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑦 𝑥 +𝐶⟹ 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥+𝐶 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 2 +𝐶 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 +𝐶 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛𝑥+𝐶 1 𝑥 𝑑𝑥=𝑙𝑛𝑥+𝐶 En física las integrales deben resolverse entre dos límites definidos, en este caso la integral recibe el nombre de integral definida: 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑦 𝑥 +𝐶 𝑎 𝑏 = 𝑦 𝑏 +𝐶 − 𝑦 𝑎 +𝐶 =𝒚 𝒃 −𝒚(𝒂)

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 6 Cálculo integral EJERCICIO 6 Calcula las siguientes integrales inmediatas: 1 3 3 𝑥 2 𝑑𝑥 0 𝜋 4 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 2 4 3 𝑥 𝑑𝑥

7 Introducción al análisis dimensional A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 7 Introducción al análisis dimensional 7.1. Magnitudes Magnitud es todo aquello que puede ser medido. Por ejemplo una longitud, la temperatura, la intensidad de corriente, la fuerza… etc. Medir una magnitud consiste en compararla con otra de la misma especie (elegida arbitrariamente) llamada unidad y ver cuantas veces está contenida dicha unidad en la magnitud medida.  El Sistema Internacional de Unidades (S.I.), creado en 1960, es el sistema mundialmente aceptado. Está basado en el Sistema Métrico y consta de siete magnitudes fundamentales y sus correspondientes unidades de medida: Magnitud Unidad Longitud m Temperatura K Masa kg Cantidad de sustancia mol Tiempo s Intensidad luminosa cd Intensidad de corriente A

7 Introducción al análisis dimensional A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 7 Introducción al análisis dimensional 7.2. Ecuación de dimensiones Obtener la ecuación de dimensiones de una magnitud derivada es expresar ésta como producto de las magnitudes fundamentales. Para obtener la ecuación dimensional de una magnitud derivada:  Deberemos partir de su ecuación de definición.  Hay que manipular la ecuación de definición hasta lograr que se pueda expresar en función de las magnitudes fundamentales. EJERCICIO 7 Obtener la ecuación dimensional de la velocidad.