Prácticas de laboratorio (Física I y Física II) Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Realización de prácticas y presentación de resultados

Partes de una práctica: todas son importantes El boletín de prácticas El material de laboratorio Toma de datos en el laboratorio Presentación correcta de las medidas Cálculos efectuados a partir de las medidas Presentación correcta de los resultados Gráficas y rectas de mejor ajuste Respuesta a las cuestiones del boletín

El boletín y la ficha de prácticas

El boletín de prácticas: contiene la teoría y las instrucciones Fundamento teórico Instrucciones: Toma de datos Cálculo de resultados Gráficas Cuestiones Todo se anota en la ficha Se adjuntan las gráficas Se adjuntan las cuestiones

Un ejemplo de fundamento teórico: comportamiento de un resorte 𝐹 𝑒 =−𝑘 𝑙− 𝑙 0 ¿𝑘? Método estático Método dinámico 𝑇=2𝜋 𝑚 𝑘 𝑙= 𝑙 0 + 𝑚𝑔 𝑘

El material de laboratorio: lo esencial de la práctica Práctica: realización de un experimento Resortes Pesas Soporte Regla Cronómetro  Cada ficha contiene un inventario El inventario debe confirmarse al principio y al final de la práctica Básico: cuidar el material

Toma de datos: medidas, medidas y más medidas Precisión del aparato Una medida experimental siempre posee incertidumbre Incertidumbre intrínseca Influencias externas Incertidumbre sistemática: Incertidumbre aleatoria: la que es siempre en el mismo sentido La que puede ir en cualquier sentido Si se conoce puede restarse Se reduce repitiendo las medidas muchas veces Ej.: Error de cero

La precisión de un dato: cifras significativas Todo dato o cálculo experimental tiene una precisión limitada Cifras significativas: las que aportan información sobre el dato 23.48 s 23.40 s 23.4 s ≠ nº decimales 4 cifras significativas 3 cifras 𝑚=24g Los ceros iniciales indican el orden de magnitud 2 cifras 𝑚=0.024kg ¿3? 𝑇=8.64× 10 4 s Más claro en notación científica 𝑇=86400s ¿5? 3 cifras

Banda de incertidumbre (o de error): entre cuánto y cuánto varía un dato El margen de error de una medida da una estimación de la incertidumbre de esta Una medida tiene una probabilidad >95% de estar en el intervalo 𝑥∈ 2.12m,2.16m 𝑥=2.14±0.02m Medida Incertidumbre 𝑥=2.14 2 m Forma compacta Lo del paréntesis afecta a la(s) última(s) cifra(s) Orden de magnitud Unidades 𝐺=6.67384 80 × 10 −11 N· m 2 kg 2 Valor medido más reciente:

Incertidumbre o error absoluto y relativo de una medida La incertidumbre de una medida individual la da la precisión del aparato de medida (mínima división que aprecia) Regla graduada en mm: Termómetro digital 𝑙=25.2±0.1cm 22.5ºC | 23.0ºC | 23.5ºC 𝑇 𝐶 =23.0±0.5°C Se llama también error absoluto 𝑥= 𝑥 0 ± 𝐸 𝑥 𝐸 𝑥 tiene las mismas dimensiones que 𝑥 ¡Tiene unidades! Incertidumbre (o error) relativo: 𝜖 𝑥 = 𝐸 𝑥 𝑥 Adimensional Se da en % 𝜖 𝑙 =0.00396825=0.4%

Expresión de la cantidad con su error La banda de error limita el número de cifras significativas: Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más 𝑇 = 2.32865±0.312689s Las primeras cifras del error nos dicen donde está la incertidumbre 𝑇 = 2.3±0.312689 s El dato y su incertidumbre se redondean Sí Hacia arriba Para redondear se mira lo que se descarta ¿>5? No Hacia abajo

El redondeo de un dato: mantener lo seguro y descartar lo incierto Escribimos uno debajo del otro. Ojo al punto decimal T = 2.83256 E = 0.08621 ¿Son >25? Se examinan las dos primeras cifras significativas de la incertidumbre No: se retienen ambas Sí: se retiene la primera Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea T = 2.83256 E = 0.09 T = 2.83 E = 0.09 𝑇 = 2.83 ± 0.09s=2.83 9 s En el borrador, se guardan todas las cifras

Reglas de redondeo: Varios casos prácticos T = 2.30408415 ± 0.002156s 𝑇 = 2.3041 ± 0.0022𝑠 T= 2.3041(22)s T = 2.30408415 ± 0.03674s T = 2.30 ± 0.04s T= 2.30(4)s T = 2.30408415 ± 0.00962s T = 2.304 ± 0.010s T = 2.304(10)s T = 2.30408415 ± 2.87s T = 2 ± 3s T = 2(3)s T = 2.30408415 ± 25.7s T = 0 ± 30s T = 0(30)s

¿Cuándo se puede decir que dos datos experimentales son iguales o distintos? Dos medidas de un periodo: 𝑇 3 =1.23 1 s 𝑇 4 =1.20 1 s ? ¿ No Pueden ser coincidentes si sus bandas de error se solapan 𝑇 1 𝑇 2 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 𝑇 4 𝑇 3 ¿Cuándo podemos decir que 𝐴± 𝐸 𝐴 =0? Si 𝐸 𝐴 > 𝐴 𝐴 1 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 𝜖 𝐴 >100% 𝐴 2

Unidades: preferible siempre usar el SI Los datos experimentales y los resultados de cálculos tienen unidades Preferible usar unidades del SI o sus derivadas 𝑇=2.35s 𝑙=0.054m 𝑓=2300Hz Pueden usarse prefijos, cuando son adecuados a los valores 𝑙=5.4cm 𝑓=2.3kHz No deben combinarse unidades con prefijo 𝑙·𝑓=12.4kHz·cm 𝑙·𝑓=124m·Hz=124m/s

Tablas: cómo presentar los datos ordenadamente Cuando se hacen varias medidas, se tabulan los resultados Unidades de cada columna Incertidumbre de cada dato Lo que vaya en la cabecera se aplica a toda la columna m (±0.005kg) l(±0.1cm) 0.100 4.4 0.200 8.9 0.300 14.0 0.400 18.3 0.500 22.5 Tantas cifras significativas como marque la incertidumbre Los ceros finales también se ponen Si las unidades o incertidumbres son diferentes para cada dato se ponen junto a cada uno

Varias medidas de la misma magnitud: media e incertidumbre Tomando 𝑛 medidas se reduce la incertidumbre aleatoria Tomamos como valor de la medida la media aritmética t(±0.01s) 5.76 5.82 5.67 5.69 5.79 𝑡 = 𝑡 = 𝑡 1 + 𝑡 2 +⋯ 𝑛 nº de datos Rango donde están los datos En Excel: =PROMEDIO(B2:B6) Incertidumbre: 𝐸 𝑡 = 2 𝜎 𝑛−1 𝑛 Desviación cuadrática media En Excel: =2*RAIZ(VAR.S(B2:B6)/CONTAR(B2:B6)) 𝑡=5.746±0.05748s 𝑡=5.75±0.06s 𝑡=5.75(6)s

Cálculo de la media y su incertidumbre empleando el programa lineal Cálculo de la media y su incertidumbre empleando el programa lineal.xls Disponible en la web de prácticas Media 𝑥 (valor de la magnitud) Lista de valores de medidas Incertidumbre de la magnitud, 𝐸 𝑥 Ojo: dependiendo de la configuración de cada ordenador, puede haber coma o punto decimal

La incertidumbre se propaga en los cálculos 𝑇= 𝑡 6 Si dividimos la magnitud, dividimos la incertidumbre 𝐸 𝑇 = 𝐸 𝑡 6 ¿ 𝐸 𝑇 ? 𝑡=5.746±0.05748s 𝑇=0.957667±0.00958s (completo en el borrador) 𝑇=0.958(10)s x z z(x) 𝜔= 2𝜋 𝑇 dz/dx ¿ 𝐸 𝜔 ? x0 z0 𝐸 𝑧 = d𝑧 d𝑥 𝐸 𝑥 𝐸 𝜔 = 2𝜋 𝑇 2 𝐸 𝑇 𝜔=6.56093±0.065632 s −1 𝜔=6.56 7 s −1

Incertidumbre de una función de varias variables 𝑘= 4 𝜋 2 𝑚 𝑇 2 𝑘=21.5229 N m 𝑚=0.500±0.005kg 𝐸 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 𝐸 𝑥 2 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 2 𝐸 𝑦 2 +⋯ Si 𝑚 y 𝑇 son inciertas, ¿cuánto vale 𝐸 𝑘 ? Derivadas parciales 𝜕𝑘 𝜕𝑚 = 4 𝜋 2 𝑇 2 =43.0458 s −2 𝐸 𝑘 =0.48140 N m 𝜕𝑘 𝜕𝑇 =− 8 𝜋 2 𝑚 𝑇 3 =−44.9486 kg s 3 𝑘=21.5(5) N m

Estableciendo una ley física: correlación entre dos variables A menudo, debe establecerse si una variable depende de otra y cómo depende Se mide con la correlación, 𝑟 𝑟=0 𝑟=1 𝑟=0.9 Rango y Rango x Excel: =COEF.DE.CORREL(B3:B7;A3:A7)

Cálculo del coeficiente de correlación usando lineal.xls Valores de x Valores de y Coeficiente de correlación r 𝑟=0.9993: se escribe hasta la primera cifra que no sea 9

Las gráficas de los datos experimentales son esenciales Las gráficas de los datos experimentales son esenciales. Consejos prácticos Las escalas deben ser adecuadas a las medidas: empezar algo por debajo y terminar algo por encima de los datos. No tienen por qué incluir el (0,0). Los ejes deben estar etiquetados correctamente: deben incluir magnitud y unidades, con divisiones en intervalos “razonables”. Conviene que haya una cuadrícula que facilite la ubicación. Los puntos experimentales deben ser claramente visibles y sin etiqueta numérica. Nada de (0.500,28.9) junto al punto. No hay que unir los puntos por una línea quebrada Si incluye una recta de mejor ajuste, que sea de color distinto a los puntos. Debe abarcar todo el rango en x de la gráfica La gráfica debe tener un título descriptivo

Ejemplo de gráfica correcta Título descriptivo Escalas adecuadas Magnitud y unidades Datos experimentales Cuadrícula Recta de mejor ajuste Escalas adecuadas Divisiones del eje Magnitud y unidades

Trazando una gráfica en Excel Se tabulan los datos Se seleccionan los datos y se inserta un gráfico “Dispersión XY” El botón mágico: hay un diseño que es (casi) el deseado Se mueve a otra hoja Se ajustan las opciones hasta que cumpla todas las especificaciones Rangos Colores Títulos ...

Recta de mejor ajuste: la que más se acerca a una nube de puntos Los puntos nunca están exactamente alineados ( 𝑟 <1) Se busca la recta que pasa más cerca de los puntos mediante el método de mínimos cuadrados 𝐵: pendiente 𝐴: ordenada en el origen Buscamos 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 tal que 𝜒 2 = 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝐴+𝐵 𝑥 𝑖 2 sea mínimo

Pendiente, ordenada en el origen y sus incertidumbres Rango x B: =PENDIENTE(B3:B7; A3:A7) Rango y A: =INTERSECCION.EJE(B3:B7;A3:A7) 𝐴 = 𝑦 A y B son magnitudes con unidades 𝑦=𝐴+𝐵𝑥 𝐵 = 𝑦 𝑥 𝐸 𝐵 = 2𝐵 𝑟 1− 𝑟 2 𝑛−2 𝐸 𝐴 = 𝐸 𝐵 𝜎 𝑥 2 + 𝑥 2 Las dos tienen incertidumbres

Cálculo de la pendiente y la ordenada usando lineal.xls Ordenada A con su incertidumbre Valores de x Valores de y Pendiente B con su incertidumbre Coeficiente de correlación r

Representación de la recta de mejor ajuste en la gráfica de los puntos La recta se añade como una “línea de tendencia” lineal Hay que extrapolar la longitud para que cubra todo el intervalo Nunca hay que trazar la quebrada que une los puntos

Interpolaciones y extrapolaciones: sacándole partido a las rectas Una vez establecida la dependencia lineal, puede usarse la recta para hallar nuevos valores 𝑦 =𝐴+𝐵 𝑥 0 Interpolación: Si 𝑥 0 está en del rango de valores: Extrapolación: Si 𝑥 0 está fuera del rango de valores Tienen incertidumbre

Cálculo de interpolaciones y extrapolaciones con lineal.xls Valores de x Valores de y Valor de 𝑥 0 Interpolación con su incertidumbre

Dependencia potencial y dependencia exponencial En ocasiones tenemos magnitudes que varían exponencialmente 𝑦=𝐾 𝑒 𝜆𝑥 Otras tenemos (o suponemos) una dependencia potencial 𝑦=𝐾 𝑥 𝑛 En estos casos se toman logaritmos de los dos miembros Las leyes generales se reducen a ecuaciones de rectas ln 𝑦 = ln 𝐾 +𝜆𝑥=𝐴+𝐵𝑥 𝐴= ln 𝐾 𝐵=𝜆 ln 𝑦 = ln 𝐾 +𝑛 ln 𝑥 =𝐴+𝐵 ln 𝑥 𝐴= ln 𝐾 𝐵=𝑛

Escalas logarítmicas: ideales cuando una magnitud varía en un rango amplio Para rectas de leyes potenciales y exponenciales podemos hacer una recta normal usando los logaritmos como variables O podemos usar escalas logarítmicas Década Permiten representar en la misma escala valores muy diferentes

Ejemplo de recta potencial: dependencia del periodo con la masa Al aumentar la masa que cuelga, el periodo aumenta ¿Es proporcional? Suponemos una ley 𝑇=𝐾 𝑚 𝑛 Datos Calculados Llevamos los logaritmos a lineal.xls B6 =LN(B6) 𝐴 =0.309±0.019= 0.309(19) El exponente es 𝑛=𝐵≃0.5 𝐵 =0.502±0.013=0.502(13) 𝑇=𝐾 𝑚 𝐾= e 𝐴 𝑟 = 0.9997

Gráfica log-log de una dependencia potencial Se representa T frente a m y se elige en el formato de ejes “Escala logarítmica” En la línea de tendencia hay que elegir “potencial” Aquí va la masa, no log(m)

Partes de una práctica: todas son importantes El boletín de prácticas El material de laboratorio Toma de datos en el laboratorio Presentación correcta de las medidas Cálculos efectuados a partir de las medidas Presentación correcta de los resultados Gráficas y rectas de mejor ajuste Respuesta a las cuestiones del boletín

Sevilla, noviembre de 2013