Estimación estadística

Temas Parámetro y estimador Propiedades de un buen estimador Estimación puntual (Ejemplo aplicado) Estimación por intervalo (Ejemplo aplicado) 1 semana

Parámetro y estimador Un parámetro es una función definida sobre una variable que caracteriza a una población (constante). Un estimador es un estadístico (una función de la muestra), usado para estimar un parámetro desconocido de la población. En general se utilizan los estimadores que tengan las mejores propiedades. En el proceso de estimación de un parámetro hay dos enfoques que responden a diferentes necesidades: la estimación puntual y la estimación por intervalo de confianza.

Estimación puntual Cuando se aproxima un parámetro de una distribución a través de un valor decimos que se está haciendo es una estimación puntual Así, por ejemplo, la media muestral es una función de n variables aleatorias donde “n” es el tamaño de la muestra. Para seleccionar un buen estimador entre un conjunto de posibles estimadores, los estadísticos propuestos son estudiados teniendo en cuenta ciertas propiedades deseables.

Propiedades de un buen estimador La elección de un estimador se realiza teniendo en cuenta, entre otros, los siguientes criterios: Insesgamiento: Un estimador insesgado es aquel en el que la esperanza del estimador es igual al verdadero valor del parámetro. El sesgo del es definido como: Sesgo(ˆθ )=E(ˆθ - θ ). Consistencia: A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el valor del estimador tiende a ser el valor del parámetro. Cuando n tiende a infinito

Propiedades de un buen estimador Eficiencia: Se refiere a la precisión (Variación). Un estimador es más eficiente que otro, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Robustez: Un estimador es Robusto si la violación de los supuestos de la estimación (Distribución), no altera de manera significativa los resultados. Suficiencia: No puede obtenerse información adicional acerca del estado de la naturaleza, observando otros aspectos de a muestra que no intervengan en el estadístico suficiente. Ejemplo: La media muestral sería un estimador suficiente de la media poblacional, mientras que la mediana no.

Estimadores

Exactitud y Precisión Confiabilidad: Se refiere a la consistencia de los resultados. Se refiere a la concordancia de los resultados en dos o más ocasiones diferentes.

Estimación Puntual

Ejercicio (Estimar). Estimar la media, la desviación estandar y la frecuencia relativa de las vacas que producen menos de 2000 litro por lactancia

Estimación por intervalo Los estimadores puntuales son también variables aleatorias y, por lo tanto, no se puede esperar que en una realización cualquiera den un valor idéntico al parámetro que estiman. Se desea que una estimación puntual esté acompañada de alguna medida del posible error de esa estimación. Esto puede hacerse indicando el error estándar del estimador o dando un intervalo que incluya al verdadero valor del parámetro con un cierto nivel de confianza.

Estimación por intervalo El procedimiento que permite calcular los límites inferior y superior del intervalo antedicho se conoce como: Estimación por Intervalo y el intervalo obtenido: Intervalo de Confianza. El objetivo del procedimiento de estimación por intervalo es encontrar el intervalo cerrado [LI, LS] donde LI = Límite Inferior y LS = Límite Superior, tal que si el parámetro a estimar se simboliza por θ, entonces: P(LI ≤ θ ≤ LS) = 1- α Valores usuales de confianza son 0.95, 0.99 o 0.999 Nota: Decir que un intervalo tiene confianza (1 – α)*100 significa que: “si se utiliza el mismo procedimiento de construcción del intervalo para m muestras aleatorias independientes de idéntico tamaño n, entonces m (1-α) intervalos contendrán al verdadero valor del parámetro”.

Estimación por intervalos (Confianza).

Resumen

Ejemplo: Si de una población con μ = 28, se toman 200 muestras independientes (m = 200) de tamaño “n” y se construyen para cada una un intervalo de confianza con coeficiente 0.90 (o del 90%), entonces se debe “esperar” que 180 de los 200 intervalos incluyan al valor 28. -Valores usuales de confianza son 0.95, 0.99 o 0.999 -Para poder construir estos intervalos se necesita: Una función continua que relacione el parámetros y su estimador y que tenga una función de distribución

La curva normal estándar

Estimación de la esperanza de una variable aleatoria normal Se deben distinguir dos casos dependiendo de si σ2 es o no conocida. Si σ2 es conocida , se trabaja con una Normal estándar. Para trabajar por intervalos si σ2 es conocida se usa:

Ejemplo práctico: cuando σ2 es conocida Considerar la variable rendimiento de maíz, cuya distribución es normal con media μ y desviación estándar σ. Para estimar el rendimiento promedio del maíz bajo el efecto de un herbicida, se toma una muestra de tamaño 40 y se obtiene un promedio de 60 qq/ha. Se sabe por experiencias anteriores que la varianza poblacional σ2 es 25 (qq/ha)2. a) Construir los intervalos de confianza del 95% y 99% para μ. b) ¿Cómo cambia el intervalo anterior (95%) si el tamaño de la muestra fuese 100 y se obtiene el mismo promedio? c) ¿Cómo se modifica el intervalo del 95% calculado en a) si la desviación estándar fuese de 7 qq/ha.? Recuerden buscar en la tabla Z

Si no se conoce σ2 Generalmente la varianza de la distribución es desconocida, por lo tanto el caso anterior no siempre se aplica y quedará modificado en esos casos como: Donde (n-1), son los grados de libertad que caracterizan esta distribución. Si se establece una confianza de (1-0.05)*100=95% y un tamaño muestral de por ejemplo n = 20, entonces, los cuantiles inferior y superior de una distribución T con (20 - 1) grados de libertad (g.l.) son: q1 = T α/2 = - 2.09 y q2 = T1-α/2 = 2.09, respectivamente. Así:

Curva T-Student Se usa para tamaños de muestra pequeñas y cuando se desconoce la Desviación estandar de la población La curva tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t es más dispersa que la normal estandar. A medida que k tiende a infinito, la secuencia de curvas t, se aproxima a la curva normal estándar. Cuando la desviación estandar del estadístico, se estima a partir de datos, el resultado se llama error estándar y se calcula como:

Curva Normal y T de Student

Ejemplo práctico Se desea establecer el contenido vitamínico de un alimento balanceado para pollos. Se toma una muestra de 49 bolsas y se encuentra que el contenido promedio de vitaminas por cada 100 grs. es de 12 mg. y que la desviación estándar es de 2 mg. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para el verdadero promedio del contenido de vitaminas.

¿Que piensan?

Ejercicio Una empresa dedicada a la comercialización de semillas desea estimar la altura promedio de un sorgo forrajero que ha desarrollado. Para ello toma una muestra de 50 plantas y se calcula la media de la altura, la que resulta ser 130 cm. Se sabe por experiencias anteriores que la desviación estándar es 22 cm. Construir los intervalos de confianza para μ con una confianza del 95 % y 99 % respectivamente. Comparar ambos intervalos y concluir.

Ejercicio La distribución del rendimiento por ha. de una variedad de trigo en la zona de Leones tiene una media μ = 24.5 qq/ha. y una desviación estándar de 5 qq/ha. Se extraen 5 muestras de tamaño 100 cada uno, obteniendo las siguientes medias: a) Construir los intervalos de confianza del 95% para la media poblacional para cada uno de estos valores. b) Considerar las cinco muestras como una única (de tamaño 500) y recalcular la media de esta muestra mayor ( X ) y el intervalo de confianza correspondiente. c) ¿Se observa alguna diferencia entre la amplitud de los intervalos de las muestras individuales respecto de la amplitud del intervalo construido con la muestra mayor?

Gracias