@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 PROBABILIDAD U.D. 13 * 1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 AZAR Y PROBABILIDAD U.D. 13.5*1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Experimentos aleatorios SUCESOS ALEATORIOS Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire.E={c, x} Lanzamiento de un dado al aire.E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Extraer una carta de una baraja.E={AsB, 2B, 3B, …, RO} Extraer una bola en un sorteo de lotería.E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Familias con dos hijos.E={VV,VM,MV,MM}

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 TIPOS DE SUCESOS Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. Sucesos COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Sucesos INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Orígenes La historia de la probabilidad comienza cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 “El Libro de los Juegos de Azar”. Pero no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre Un segundo y definitivo comienzo aconteció en 1654, cuando Blaise Pascal ( ) matemático francés trata de resolver cuestiones relacionadas con diferentes juegos de azar. Ello origina una correspondencia con Pierre de Fermat ( ), que constituye el origen de la teoría moderna de la probabilidad. Pierre-Simon Laplace (1774), que hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones, afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano“. Más tarde, Daniel Bernoulli (1778) y Gauss (1823), entre otros, aportaron sus consideraciones y aplicaciones. En 1930 Andréi Kolmogorov desarrolló la base axiomática de la probabilidad utilizando teoría de la medida.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 LEY DEL AZAR LEY DEL AZAR Aunque no se puede predecir el resultado, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada una de las distintas posibilidades aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. Veamos un ejemplo: Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: fr = 1/6 = 0,1667

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplo Ley del Azar RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UN DADO, TRAS 10, 100, 600 Y 1200 VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. Exp 1fr La PROBABILIDAD es el límite a que tienden las frecuencias relativas cuando el número de experiencias tiende a infinito o a un número muy elevado.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Otro ejemplo Ley del Azar RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS, TRAS 100, 1000 y VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. Exp fr(%) fr(%) 2,006,008,0014,5014,0015,0024,5010,009,503,003, fr(%) 2,755,508,2511,2514,0016,2513,7511,508,505,752,50 La PROBABILIDAD o frecuencia teórica del 7, por ejemplo, veremos que es: P(7) = Casos favorables / Casos totales = 6 / 36 = 1 / 6 = 0,1667 = 16,67%

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Operaciones con sucesos La UNIÓN de dos sucesos A y B, AUB, es el suceso que consiste en que se cumpla, al menos, uno de los dos. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A o B …” Y el resultado suele ser una suma de probabilidades: P(AUB)=P(A)+P(B). La INTERSECCIÓN de dos sucesos A y B, A∩B, es el suceso consistente en que se cumplan A y B a la vez. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A y B …” Y el resultado suele ser un producto de probabilidades: P(A∩B )=P(A).P(B) La DIFERENCIA de dos sucesos A y B, A – B, es el suceso que consiste en que se cumpla A pero no se cumpla B. Un ejemplo puede ser “ … tal que sean pares no múltiplos de 5” Y el resultado suele ser una resta de probabilidades.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Gráficos ilustrativos E A B *1 *11 *3 *4 *5 *6 *7 *8 *9 *10 *12 *2 E A B *1 *2 *3 *4 *5 *6 *7 *8 *9 *10 *11 *12 E(AUB)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E(A∩B )={6,11} E(A – B)={3,5,7,9} E(B – A)={4,8,10,12}

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 LEYES DE MORGAN LEYES DE MORGAN Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se verifican las siguientes propiedades: 1.-El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. _____ _ _ A U B = A ∩ B 2.- El contrario de la intersección es la unión de los contrarios. _____ _ _ A ∩ B = A U B Son muy utilizadas en automatismos electrónicos.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 E A B ____ _ _ AUB = A∩B ____ _ _ A∩B = AUB *2 *4 *6 *8 *10 EJEMPLO 1 Sea A={2,4} Sea B={4,8,10} Sea E={2,4,6,8,10} AUB = {2,4,8,10} ____ AUB = {6} _ A ={6,8,10} _ B ={2,6} _ AUB= {2,6,8,10} _ A∩B = {6} A∩B = {4} ____ A∩B = {2,6,8,10}

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 E A B *1 *3 *5 *7 *9 *11 ____ _ _ AUB = A∩B ____ _ _ A∩B = AUB *2 *4 *6 *8 *10 *12 EJEMPLO 2 Sea A={2,3,5,6,7,9} Sea B={2,4,6,8,10,12} Sea E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} AUB = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,12} ____ AUB = {1, 11} _ A ={1,11,4,8,10,12} _ B ={1,11,3,5,7,9} _ AUB= {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12} _ A∩B = {1,11} A∩B = {2, 6} ____ A∩B = {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12}